2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案
不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 A 9 C 10 A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满
分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11. ?2,??? 12. 2e 13.
2015??? 14. ?2,? 15. 20164??3 说明: 第14题答案可以是?2,2k???????,k?Z. 4?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f?x??sin?x??????6??cosx 6??cosxsin ?sinxcos?6?cosx ??????????1分
?31sinx?cosx ??????????2分 22 ?sinxcos ?sin?x??6?cosxsin?6 ??????????3分
?????. ??????????4分 6?6
∴ 函数f?x?的最小正周期为2?. ??????????5分
（2）解：∵f???????4???4?， ∴ ?sin?????. ??????????6分 ??3?536?5?4. ??2?5∴ sin??? ∴ cos?? ∵
????4. ??????????7分 52?是第一象限角，
3. ??????????8分 5sin?3?. ??????????9分 cos?4 ∴ sin??1?cos?? ∴ tan??4 ??????????10分
??4?1?tan??tan?43?1 ?4 ??????????11分
31??141 ??. ??????????12分
7 ∴ tan???17. （本小题满分12分）
（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）
（1）解: 由0.05?c?0.35?0.20?0.10?1.00，得c?0.30. ??????????1分
????tan??tan?a?0.30，得a?30， ??????????2分 100 由5?30?35?b?10?100，得b?20. ??????????3分
由
（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的20名志愿者中身高在区间?175,180?上的有
0.20?20?4名，记为A,B,C,D； ????????????????5分
而身高在区间?180,185?上的有0.10?20?2名，记为E,F. ????????7分 记“这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm”为事件M， 从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，共有15种不同取法：
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}，{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}，
{C,D},{C,E},{C,F}，{D,E},{D,F}，{E,F}． ??????????9分
7
事件M包含的基本事件有9种：{A,E},{A,F}，{B,E},{B,F}，{C,E},{C,F}
{D,E},{D,F}，{E,F}． ??????????11分
∴P?M??93?为所求． ??????????12分 155 18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，
∴BD∥EF. ??????????1分 ∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD?AC. ??????????2分 ∴EF?AC. ??????????3分 ∴EF?AO，EF?PO. ??????????4分 ∵AO?平面POA，PO?平面POA，AOPO?O， ∴EF?平面POA. ??????????5分 ∴BD?平面POA. ??????????6分 （2）解：设AOBD?H，连接BO， ∵?DAB?60，
∴△ABD为等边三角形. ??????????7分
?PDEHBFOA ∴BD?4，BH?2，HA?23，HO?PO?3. ????????8分 在R t△BHO中，BO?2BH2?HO2?7， ??????????9分
22 在△PBO中，BO?PO?10?PB， ??????????10分 ∴PO?BO. ??????????11分 ∵PO?EF，EFBO?O，EF?平面BFED，BO?平面BFED， ∴PO?平面BFED. ??????????12分
1?EF?BD??HO?33，?????????13分 211 ∴四棱锥P?BFED的体积V?S?PO??33?3?3.??????14分
33 梯形BFED的面积为S?19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）
（1）解：∵a1?1, nSn?1??n?1?Sn? ∴S2?2S1?n?n?1?, 21?2?1. ??????????1分 28
∴ S2?1?2S1?1?2a1?3. ??????????2分 ∴ a2?S2?a1?2. ??????????3分
（2）解法1: 由nSn?1??n?1?Sn?n?n?1?SS1, 得n?1?n?. ????????4分
n?1n22 ∴ 数列? ∴
S11?Sn??1是首项为, 公差为的等差数列. ?12?n?Sn11?1??n?1???n?1?. ??????????5分 n22 ∴ Sn?n?n?1?. ??????????6分 2 当n?2时, an?Sn?Sn?1 ??????????7分 ?n?n?1??n?1?n? 22 ?n. ??????????8分
而a1?1适合上式，
∴ an?n. ??????????9分
解法2: 由nSn?1??n?1?Sn?n?n?1?n?n?1?, 得n?Sn?1?Sn??Sn?， 22 ∴nan?1?Sn?n?n?1?． ① ??????????4分 2n?n?1?，② 2n?n?1?n?n?1??， 22 当n?2时，?n?1?an?Sn?1? ①?②得nan?1??n?1?an??Sn?Sn?1?? ∴nan?1?nan?n． ??????????5分 ∴an?1?an?1． ??????????６分 ∴ 数列?an?从第２项开始是以a2?2为首项, 公差为1的等差数列. ???７分 ∴ an?2??n?2??n. ??????????８分
9
而a1?1适合上式，
∴ an?n. ??????????9分
（3）解：由(2)知an?n, Sn?n?n?1?. 2 假设存在正整数k, 使ak, S2k, a4k成等比数列,
2 则S2k?ak?a4k. ??????????10分
?2k?2k?1?? 即???k?4k. ??????????11分
2?? ∵ k为正整数, ∴?2k?1??4.
得2k?1?2或2k?1??2, ??????????12分 解得k?2213或k??, 与k为正整数矛盾. ??????????13分 22∴ 不存在正整数k, 使ak, S2k, a4k成等比数列. ??????????14分
20.（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
x2?y2?1的顶点为F1(?2,0),F2(2,0), ????1分 （1）解法1： ∵ 双曲线C2:2∴ 椭圆C1两焦点分别为F1(?2,0),F2(2,0).
x2y2设椭圆C1方程为2?2?1?a?b?0?，
ab∵ 椭圆C1过点A(?2,1)，
∴ 2a?AF得a?2. ?????????2分 1?AF2?4，∴ b?a?22??22?2. ?????????3分
x2y2??1. ?????????4分 ∴ 椭圆C1的方程为 4210