x2?y2?1的顶点为F1(?2,0),F2(2,0), ???????1分 解法2: ∵ 双曲线C2:2∴ 椭圆C1两焦点分别为F1(?2,0),F2(2,0).
x2y2设椭圆C1方程为2?2?1?a?b?0?，
ab∵ 椭圆C1过点A(?2,1)， ∴
21?2?1. ① ?????????2分 2ab22. ∵ a?b?2, ② ?????????3分 由①②解得a?4, b?2.
22x2y2??1. ?????????4分 ∴ 椭圆C1的方程为 42（2）解法1：设点Q(x,y)，点P(x1,y1)，
由A(?2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,?1)， ∴AQ?(x?2,y?1)，AP?(x1?2,y1?1)，
BQ?(x?2,y?1)，BP?(x1?2,y1?1).
由 AQ?AP?0, 得 (x?2)(x1?2)?(y?1)(y1?1)?0， ????????5分 即 (x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1). ①
同理, 由BQ?BP?0, 得 (x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1). ② ?????6分
2 ①?②得 (x2?2)(x1?2)?(y2?1)(y12?1). ③ ?????????7分
x12y12??1，得x12?4?2y12, 由于点P在椭圆C1上, 则42代入③式得 ?2(y1?1)(x?2)?(y?1)(y1?1).
2当y1?1?0时，有2x?y?5，
2当y1?1?0，则点P(?2,?1)或P(2,1),此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或
22222211
(?2,?1) ，其坐标也满足方程2x2?y2?5. ?????????8分
当点P与点A重合时，即点P(?2,1)，由②得 y?2x?3，
22??2x?y?5,解方程组? 得点Q的坐标为
??y?2x?3,??2?2,?1或??2,?2??.
???同理, 当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为?2,1或???????2?,2?. ?2?∴点Q的轨迹方程为 2x?y?5, 除去四个点
22??2?2,?1,??2,?2??, ?2,1,
??????2????2,2??. ?????????9分 ??解法2：设点Q(x,y)，点P(x1,y1)，
由A(?2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,?1)， ∵AQ?AP?0，BQ?BP?0， ∴AP?AQ，BP?BQ.
∴y1?1y?1???1x1??2，① ????????5分
x1?2x?2??
y1?1y?1???1x1?2. ② ????????6分
x1?2x?2??y2?1?2?1. (*) ?????????7分 ①?② 得 2x1?2x?2y12?1x12y12x122??1，得y1?2?, ∵ 点P在椭圆C1上, ∴ 42212x1y2?1?1y2?12?2?1，即?2?1, 代入(*)式得2x1?2x?22x?21? 化简得 2x?y?5.
若点P(?2,?1)或P(2,1), 此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或
12
22
(?2,?1) ，其坐标也满足方程2x2?y2?5. ?????????8分
当点P与点A重合时，即点P(?2,1)，由②得 y?2x?3，
22??2x?y?5,解方程组? 得点Q的坐标为
??y?2x?3,??2?2,?1或??2,?2??.
???同理, 当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为?2,1或???????2?,2?. ?2?∴点Q的轨迹方程为 2x?y?5, 除去四个点
22??2?2,?1,??2,?2??, ?2,1,
??????2????2,2??. ?????????9分 ??(3) 解法１：点Q?x,y?到直线AB:x?2y?0的距离为x?2y3.
x?2y122(2?2)?(?1?1)?△ABQ的面积为S??????????10分 23 ?x?2y?x2?2y2?22xy. ?????????11分
yyy22 而22xy?2?(2x)?(时等号成立） )?4x?（当且仅当2x?22252y25∴S?x?2y?22xy?x?2y?4x?. ??12分 ?5x2?y2?22222222当且仅当2x?y时, 等号成立. 2y???222x?,,?x??,??x?由?解得?22或?2 ?????????13分 ?2x2?y2?5,?y?2,?y??2.????2???252∴△ABQ的面积最大值为, 此时,点Q的坐标为??2,2??或???2,?2??.?14分 2????解法２：由于AB??2?2?2???1?1??23，
2故当点Q到直线AB的距离最大时，△ABQ的面积最大． ?????????10分
13
设与直线AB平行的直线为x?2y?m?0， 由??x?2y?m?0,?22消去，得5y?42my?2c?5?0， x22??2x?y?5,22由??32m?202m?5?0，解得m????52． ?????????11分 2若m?522522，则y??2，x??；若m??，则y?2，x?． ?12分 2222?2???2故当点Q的坐标为??2,2??或???2,?2??时，△ABQ的面积最大，其值为
????S?1AB?22?2?221?2?2?2?52． ?????????14分 2
21. （本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解: 由于0?t?1，x?0，则g?x?? 当且仅当x? h?x??1?1?t?11?tx???2x??1?t， ??2?x?2x1?t，即x?1?t时，??g?x???min?1?t. ???????1分 xx2?2x?2?t??x?1?2?1?t，当x?1时，??h?x???min?1?t.
?????????2分
∵0?t?1，
∴1?1?t?2，0?1?t?1.
232由于f?x???x?ax?bx?x?x?ax?b，结合题意，可知，
?? 方程?x?ax?b?0的两根是1?t，1?t， ?????????3分 故1?t?1?t?a，1?t?1?t??b. ?????????4分 ∴a?2?21?t?1?t?2?2b. ∴b?1?2212a. ?????????5分 214
而方程?x?ax?b?0的一个根在区间1,2上，另一个根在区间?0,1?上.
2?? 令??x???x2?ax?b，
????0??b?0,? 则???1???1?a?b?0, ?????????6分
??2??2?2a?b?0.?????12?1?2a?0,?a??2或a?2,??12? 即??1?a?1?a?0,解得?0?a?2, ?????????7分
2???a?2.12???2?2a?1?2a?0.? ∴2?a?2. ?????????8分 ∴b?1?12a，2?a?2. 2求a的取值范围的其它解法：
另法1：由a?1?t?1?t，得a2?2?21?t2， ?????????6分 ∵0?t?1，
∴2?a?4． ?????????７分 ∵a?1?t?1?t?0，
∴2?a?2． ?????????8分 另法2：设??t??1?t?1?t，0?t?1， 则???t??2111?t?1?t ?????????6分 ???0，
221?t21?t21?t 故函数??t?在区间?0,1?上单调递减． ∴??t???2,2． ?????????７分
? ∴2?a?2． ?????????8分 （2）解：由（1）得f?x???x?ax??1?32??12?a?x， 2?15
2 则f??x???3x?2ax?1?12a. ?????????9分 2 ∵2?a?2，
∴二次函数f??x???3x?2ax?1?212a2a的开口向下，对称轴x??. 233 故函数f??x?在区间?1,2?上单调递减. ?????????10分 又f??1???3?2a?1?1212a???a?2??0， ?????????11分 22 ∴当x??1,2?时，f??x??f??1??0.
∴函数f?x?在区间?1,2?上单调递减. ?????????12分 ∴函数f?x?的最大值为f?1??a?
广东省中学数学教师群:179818939（非广东省的勿进，学生勿进，谢谢！）
12a，最小值为f?2???a2?4a?6. 2?????????14分
16