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高二上期末考试模拟试题十六
数 学
（测试时间：120分钟 满分150分）
一．选择题
1．抛物线y?ax2?a?0?的准线方程是（ ） A.y?1111 B.y?? C. y? D.y?? 2a2a4a4a2.焦点在直线3x?4y?12?0上的抛物线的标准方程是（ ） A.y2?8x B.y2?16x或x2?12y C.x2?12y D.y2?16x或x2??12y 3．抛物线的顶点在原点O，焦点在x轴的正半轴上，过焦点且垂直于x轴的弦AB与顶点O所成的?ABO面积是4，则抛物线的方程为（ ）
A.y2?4x B.y2?42x C.y2?8x D.y2?22x
4．抛物线y2?m?x?1?的准线与椭圆8x2?9y2?8的左准线重合，则抛物线的焦点坐标是（ ）
A.?2,0? B.?3,0? C.?1,0? D.??1,0?
x2y25．若双曲线?2?1的一条准线与抛物线y2?8x的准线重合，则双
8b曲线的离心率为（ ）
A.2 B.22 C.4 D. 42
6．过点?0,2?与抛物线y2?2px?p?0?只有一个公共点的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 7．焦点为?3,2?，准线方程是x?5的抛物线方程是（ ） A.?y?2?2?4?x?3? B.?x?4?2?4?y?2?
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C. ?x?4?2??4?y?2? D.?y?2?2??4?x?4?
8．试在抛物线y2??4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A??2,1?的距离之和最小，则该点坐标为（ ）
??? A.???,1? B.?,1? C.??2,?22? D.??2,22?
1?4?1?4?9．抛物线y2?12x截直线y?2x?1所得弦长等于（ ） A.15 B.215 C.
15 D.15 210．过抛物线y2?2px?p?0?的焦点作一条直线交抛物线于
A?x1,y1?,B?x2,y2?，则
y1y2等于（ ） x1x2 A.4 B.－4 C.p2 D.?p2
11．过抛物线y?ax2?a?0? 的焦点作一直线交直线于P.Q两点，若线段PF与FQ的长分别时p,q,则?等于（ ） A.2a B.4a C.
14 D. 2aa1p1q12．设抛物线y2?8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
? A.??,?22? B.??2,2? C.??1,1? D.??4,4? ??11二．填空题
13．抛物线y2?10x的焦点到准线的距离为 . 14．过点A?1,0?和抛物线y?x2仅有一个交点的直线方程是 .
15．过抛物线y2?2x内一点A?m,1?作弦BC，若A为BC的中点，则直
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线BC的方程为 ，其中m的取值范围是 . 16.抛物线y??x2上的点到直线y??2x?4的最近距离为 ，此点坐标为 . 三.解答题
17.一抛物线的定点A，焦点F分别是双曲线16x2?9y2?144的右焦点和左顶点，求此抛物线的方程.
18.抛物线的焦点F在x轴上，直线y??3与抛物线相交于A,AF?5,求抛物线的标准方程.
19.OA,OB是抛物线y2?2px的两条互相垂直的弦，O为原点，求弦AB中点的轨迹方程.
20.过抛物线y?ax2?a?0?的顶点作两条垂直的弦OA,OB， (1)求证直线AB恒过一定点；（2）求AB中点的轨迹.
21.直线l1过点M??1,0?,与抛物线y2?4x交于P1,P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k,（1）将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f?k?；（2）求出f?k?的定于域及单调区间.
22.已知抛物线：y2?2px?p?0?
? （1）若p?1，设A??,0?，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及
2?3?相应的距离BA;
(2) 若p?1,设A?a,0?，a?R,抛物线上的点B到点A的最小距离d，并求d?5时点A的坐标；
（3）若A?5,0?到抛物线上的点的最小距离为4，求抛物线的方程.
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参考答案
一.选择题
1—5．DDBCA 6—10 CDAAB 11—12 BC 二.填空题
?13. 5 14.x?0,y?x?1,x?1 15.x?y?m?1?0,??,???
?1?216.
35，?1,?1? 517.解：?双曲线16x2?9y2?144的右焦点坐标为?5,0?，
左顶点坐标为??3,0?
?抛物线的顶点A?5,0?,焦点F??3,0? ?抛物线的方程为：y2??32?x?5?.
18.解：设所求焦点在x轴上的抛物线标准方程为：
y2?2px?p?0?,A?m,?3?,则由抛物线的定义得5?AF?m?F,又2?－3?2＝2pm,?P??1,P??9.故所求抛物线方程为y2??2x,或y2??18x.
19．解：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，AB的中点坐标为P?x,y? ?OA?OB,?kOA?kOB??1 ?y1y2???1 x1x2 ?y1?y2??x1?x2
?y12?2px1又??2
?y2?2px2 ?y12?y22?4p2x1?x2 ?y1?y2??4p2,x1?x2?4p2
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又?y12?y22?2px1?2px2
?y12?y22?2y1y2?2px1?2px2?2y1y2 ??y1?y2?2?2p?x1?x2??2y1y2 又?P为AB的中点
?y1?y2?y?2 ??
x1?x2??x?2 ?4y2?2p?2x?8p2 ?y2?p?x?2p?
20．解：(1)设A?x1,y1?,B?x2,y2?
?A,B
是抛物线y?ax2?a?0?上的点
?y1?ax12y2?y1?? ?k??a?x2?x1? 2x2?x1?y2?ax2?AB:y?y1?a?x2?x1??x?x1?
2?y?y1?a?x2?x1?x?ax1x2?ax1
?y?a?x2?x1?x?ax1x2
又?y1?y2?a2?x1?x2?2①
?OA?OB
?kOA?kOB??1 ?y1y2???1 x1x2?x1?x2?y1?y2?0
?y1?y2??x1?x2代入①得
?x1?x2??1 a2