第二章 导数计算及应用
)yt?(y?)?dydtdxdtt求导公式： ==，=. ?2dxdxdxxt?dxxt?dtdtdy22?x?ln(1?t2)dydy例2.36．已知? 求,. 2dxdx?y?t?arctantdyd(dy解：dydx=yt?xt?d1?11?t2t22==t2， 1?tdydx22=dtdx=dxdt(dy)122t1?t2=1?t4t2. 2?x?tsint?2dy?dyt?例2.37．已知?，求，，并给出时y?y(x)的切线法线方程. 2y?2?tcostdx2dx?d解: dydx=yt?xt?=cost?tsintdysint?tcost2,dx2=dt?2?tdx=， 3dx(sint?tcost)(dy)2dt??2=??，x?x????2，y?y00t?2212t?斜率k?dydxt?=?2?2?2， 切线方程为y?2??法线斜率k?2?2(x??2?2)。 y?2?2(x??，法线方程为：?2??2) 222?dy?x?y?t?1例2.38． 已知y?y(x)由?确定，求。 tdx??xt?ye?1解：将方程中x,y分别看成为t的函数，分别对t求导得 dxdy?2x?2y?2t?0??dtdt ?
dxdytt?t?x?e?ey?0?dt?dt解得：
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dxdtdydx=
?te?xy?yexe?ty22tt2t，
dydtt=
t?x?xyexe?tyt22t
所以 =
dy/dtdx/dt=
t?x?xyet2?te?xy?yet。
四、导数应用 （a）斜率和几何应用 （b）洛必达法则求极限 （c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线 （d）最大值，最小值与实际应用 （e）微分中值定理的应用 （f）证明不等式
1．斜率与几何应用 函数y?y?x?在x?x0处导数y?(x)为切线斜率k，即k?y?(x),过点?x0,f?x0??的切线方程为y?f(x0)=f?(xo)(x?x0)。法线方程为y?f(x0)=?1f?(xo)(x?x0)。 例2.39．y?xx，求过?1,1?的切线方程。 解：y??32x， 32k?y?(1)?(x?1)。 232 切线方程为y?1=例2.40．过点?0,0?引抛物线y=1?x的切线，求切线方程。 2解：设切点为?x0,1?x0因y?=2x， ?，
yy?1?x2 k?y?(x0)?2x0，
切线方程为y=2x0x，
?x- 34 - 0,1?x02?
x O x0 第二章 导数计算及应用
2因为?x0,1?x0?亦在切线上，所以
1?x0=2x0x0，x0?1，x0??1，
22所以，切线方程为 y=±2x。 例2.41．问函数y=
1x?x?0?哪一点
0图示2.1
上的切线与直线y=x成60角？ 解：设切线斜率为k2?0，y=x，k1=1， tan?=k1?k21?k1k2，3=1?k21?k2 解得：k2=?2?3，y?=?1x2=?2?3，解得：x=12?3. 2．洛必达法则 洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。 洛必达法则：若limf(x)?0,limg(x)?0,且在a的邻域附近g(x),g(x)可导。如果成立x?ax?alimf?(x)g?(x)x?a?A,则limf(x)g(x)x?a?A。 0?0?,。对于0??,1?，???等必须变形为,形0?0?注：①洛必达法则处理的形式必须是未定式式。 ②洛必达法则是一个充分性的法则，若limf?(x)g?(x)不存在，则说明此方法失效。 x?a③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。 ④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。 5注意其和连续，可导概念结合的综合题。 ○例2.42．limx?sinxtanx?sinx2x?0
1x2解：原式=lim例2.43．lim(x?0x?sinxx1x?3x?0?lim)
1?cosx3x2x?01?lim22? x?03x61e?1x - 35 -
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解：原式=lime?1?xx(e?1)2xxx?0?lime?1?xx2xx?0?lime?12xxx?0?limx2xx?0?12
例2.44．limxlnx
x?0?解：原式?lim?x?0lnxx?22?limx?1?3x?0?2x?limx2x?0?2?0
?x例2.45．limxe x??解：原式=lim例2.46．lim(x?0xe1xx2x???lim112xe) x2x???0 2?sinx22解：原式=lim(sinx?x)(sinx?x)xsinx2x?0 ??2limx?01?limsinx?xsinx?xx1x2x?03x12?2limx?0cosx?13x2223xx2??13 例2.47．lim(x?0?2tanx22) 解：原式=lim ?lim 例2.48．limtanx?xxtanxtanx?xx32x?0?limtanx?xx422x?0 secx?13x22x?0limtanx?xxx?0?2limx?0?23limtanxx22x?0?23 x?sinxx?sinxx?? 1?cosx1?cosx?不存在 解：由罗必塔法则，原式＝limx?? 这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。 1?sinxx?1 sinxxcscx 原式= limx??1?例2.49．lim?(1?xlnx)x?0
1解： lim?xlnx?lim?x?0x?0lnx1x?lim?x?lim?(?x)?0 x?0?1x?0x2 - 36 -
第二章 导数计算及应用
xlnxcscx1?limlnx???x?0xlnx 原式?lim??(1?xlnx)?e?0 ?x?0???例2.50．lim?x
x?0x解： 原式=limexlnx?ex?0?limxlnxx?0??e?1
0例2.51．lim?x?0(x-1)x(x)?1xx ?lim?(ex?0xlnx解：原式=lim?x?0)??lim?ex?0xlnx(lnx?1)?? ?f(x),x?0?例2.52．设f(x)有二阶连续导数，且f(0)?0，g(x)??x。 ?f?(0)?0,x?0?证明：g(x)有一阶连续导数。 解：当x?0时，g?(x)?xf'(x)?g(x)x2,g??x?在x?0处连续 f(h)g?(0)?lim?limf?(h)?f?(0)2h?limf??(h)2?f??(0)2g(h)?g(0)hh?0?limh?f?(0)h?limh?0f(h?0： f??(x)2f??(0)2h?0h?0
因limg?(x)?limh?0xf?(x)?f(x)x2x?0?limf??xf??(x)?f?(x)2xh?0?limx?0? 所以limg?(x)?g?(0)?x?0f??(0)2，故g?(x)在=0处连续。 综上所述g(x)有一阶连续导数。
3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性 a、 单调性
如果f?(x)?0,x?I则f(x)在I上严格单调增加，f?(x)?0,x?I，则f(x)在I上严格
单调减少。
满足 f?(x)?0的点称为驻点。 b、 极大值，极小值
判别?:如果在x?x0的附近，当x?x0，f(x)单调增加，x?x0，f(x)单调减少，则f(x)
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