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19. lim(x?01x?1sinx1xx2)
20. y?arctan21. y?(arcsin，求y?。
)，求y?
222. y?(1?x2)arctanx，求y? 123. y?2cosx，求dy ??x2, x?024. f(x)??,求f?(x) ?xarctanx,x?025. f(x)?11?2x1x，求f(n)(0) 26. y?arctan?xlnx，求y?? 27. y?ln(1?2x)，求y???(0) 11??28. f(x)??1??，求f?() 2x??x29. y?x2?sin?lnx??cos?lnx??，求y??(1) ?ln130. y?arccosxx11?1?xx2 求y? ?x?(1?x)31. limx?0?e???x? ???,(a?0) 32. limln(xlnx)xax???33. 分析y?ln(x?1)的单调性、凹凸性、极值、拐点 34. 讨论函数ex2在点x?0处是否可导？有没有极值？如果有求出其极值。
14x?6x（万元/单位）。当x=？时，
235. 设生产某种产品x个单位时，成本函数为c(x)?100?
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第二章 导数计算及应用
平均成本最小？
36. 某厂生产某产品，年产量为x（百台），总成本c(万元)，其中固定成本为2万元，每产100台成本增加1万元，市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入R(x)是x的函数，12??4x?x,0?x?4R(x)??。问每年生产多少台时总利润最大？ 2?8, x?4?37. 某工厂每天生产x台袖珍收音机总成本为c(x)?14，该种收音机独家经x?x?100（元）2营，市场需求规律为x?75?3p，其中p为单价，问每天生产多少台时获利最大？此时每台收音机价格如何？ 38. 求函数f(x)?32x(x?6)在区间??2,4?上的最大值与最小值。 239．试证：若m?1,n?1，a?0，则xm?a?x?1n?mnmnm?n?m?n? am?n 40．设x?0，证明：1???ln?1???2x?1x??111n?112x?x241．证明不等式： an?12(n?1)?a?alnan?ann2，（a?1,n?1）。 单元练习题2答案 1、dy?x(lnx?1)dx，2、?12，3、y??x?2xy?y222x?2xy?6y，4、y?f(x0)，5、1 6、(1,e);(2,2e?1?2)，7、y?1;x?1，8、?y?dy，9、e?1，10、(1,??)，11、k 212、?1，13、cos?f?sinf?x???f??sinf?x??cosf?x?f??x?，14、y??2x?1 15、C，16、B，17、C，18、B，19、A，20、C， 21、B，22、B，23、C，24、A 25、y???11?x2，26、dy?2xcos(x?1)e2sin(x?1)2dx，27、y??xsinxsinx???cosxlnx??
x?? - 59 -
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lny?yxdx，29、y???0???4 xy28、dy?lnx?30、解：y??2xf??x2? y???2f??x2??4x2f???x2? 31、解：设u?lnx?1，x?eu?1，f?u??eedydx22u?1?3eu?1，df?x?dx?eex?1ex?1?3ex?1 32. ?edxdt?2t?sint?cost?tt3 dydtdydteety33. 解：?e?te??t?1?e，e?etty?0?????ett2e?e dydydy1k? ?dt?tdxdxdx?(2e?e)(t?1)dtt?1?1?2e??12e 1????1?y2?x?1??11???x?1?34. 解：y??x?1?， ?n?11?xx?1?1n!????n?y?,n?1??x?1?? ?n?2?35. 用莱布尼茨公式。 36. y?n???1?x22??cosx???n??Cn?1?x12???cosx?2?n?1??Cn?1?x22????cosx???n?2?
?1?x??n?1????n?2??n?????co?sx?sx?sx??????2nxco???n?n?1?co?2???2?
n??n????2?1?x?n?n?1?co?sx???2nxsin?x?? 2?2?????11?ex37. 解：f??x???1??xe??2??x?x12111?ex??11x1ex2,x?0
???1?ex????????1?ex?????hf???0??lim?n?0f?h??f?0?h1?lim?h?01?eh?0， h- 60 -
第二章 导数计算及应用
f???0??lim?h?0f?h??f?0?h?lim?h?011?1。
1?eh所以f??0? 不存在。 38、解f??x??arctan1x?2??x?2?1?1?1???x?2??2
?arctan1x?2??x?2?3，x2?x?2??1?2 f???2??limf???2??limf?2?h??f?2?hf?2?h??f?2?hharctan?limh?0?1h?? 2??h?0?h1hh?0??limarctanh?0??2 因f??2??f???2? 故f??2?不存在 23???x?1??x?1?,x??139、解：f?x??? 22????x?1??x?1?,x??1?2?x?1??x?1?3??x?1?2?3?x?1?2??x?1??x?1?2?3x?1?,x??1? f??x???2????x?1??x?1??3x?1?,x??1f????1??limf??1?h??f??1?hf??1?h??f??1?hh?0??lim??2?h?2h3h?0h?0??0 f????1??limh?0??lim??2?h?2h3h?0h?0??0 ?f???1??0 ?2?x?3??x?1?,x??1???3?x??x?1?,?1?x?3 ?2??x?3??x?1?2,x?3??40、解：y?2?x?3??x?1? - 61 -
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?2x?2x?3ln2??2x?2?,x??1???x2?2x?3y???2ln2???2x?2?,?1?x?3
?x2?2x?32ln2??2x?2?,x?3??f????1??limf????1??limf??1?h??f??1?hf??1?h??f??1?h2h??1?0?lim?limee?4?h?h?1?1h??1?0h??4?h?h?4 ??4 h??1?0h??1?0h?1?1故x??1，y不可导; f???3??limf???3??limf?3?h??f?3?hf?3?h??f?3?hh?3?0?lim?limeeh?4?h?h?3?0h?h?4?h??4 ??4 h?3?0h?3?0h?x?3时，y?x?不可导 11?2xsin?cos,x?0?41、解（1）f??x??? xx?2x,x?0?f???0??limf???0??limf?h??f?0?hf?h??f?0?hhsin?limh?0?21h?0 h?0?hh?0??lim1xh2h?0?h?0，故f??0??0 （2）limf??x??lim?2xsinx?0?x?0????cos1??不存在 x?故f??x?在x?0处不连续 42、解ylny?x?0，方程两边对x求导 dyy?lny?y?1?0 dxy?lny?1?y??1?0, ???
y???1lny?1
对（*）两端再次对x求导，
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