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在x?x0取得极大值，反之取极小值。
判别II：如果f(x)在x?x0邻域存在两阶导数，且f??(x0)?0取极小值，f??(x0)?0取极大值。
极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。 c、 凹凸法
f??(x)在I上存在，如果f??(x)?0，x?I，则f(x)在I上向上凹；f??(x)?0，x?I，则f(x)在I上向上凸。 d、 拐点 凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在f??(x)?0的点或f??(x)不存在的点。 e、 渐进线 如果limf(x)?A，则y?A为y?fx???x?的水平渐近线；如果limx?af(x)??，则x?a为y?f?x?的垂直渐近线。 有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为 （1） 求定义域，渐近线； （2） 计算y?, y??； （3） 求y??0，y???0的点和找出使y?, y??不存在的点，设为 x1,x2,?,xn； （4） 列表分析； （5） 结论。 例3.53．分析函数y?xe?x的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。 解：（1）定义域为x?R， 渐近线：因limxex????x?limxexx????lim1exx????0 y?0，即x轴为水平渐近线 （2）y??(1?x)e y????1e?x?x ?x?(1?x)(?1)e?(x?2)e?x，由y??0得x?1，由y???0得x?2 （3）列表分析
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第二章 导数计算及应用
x y? y?? y (??,1) 1 (1,2) ??2 拐点 (2,??) ?? 极大值 ?? ?? y?1??e ?1?? y?2??2e?2 ?? （4）y?xe?x在(??,1)上单调上升向上凸，(1,2)上单调下降，向上凸，(2,??)上单调下降，向上凸，（1，e?1）为极大值点，（2，2e?2）为拐点。 例2.54．分析y?1?x221?x解：（1）定义域x??1， 的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线。 因lim因lim1?x1?x1?x1?x22x?????1，所以y??1为水平渐近线。 ??，所以x??1为垂直渐近线。 2222x??1（2）y??2x(1?x)?(1?x)(?2x)(1?x)222?4x(1?x)22， y???4?1?x??4x?2?1?x???2x?4?12x??1?x??1?x?22423， 由y??0得x?0；当x??1，y?，y??不存在。 列表分析 函数
1?x1?x
22
x y? y?? y (??,?1) ???1 (?1,0) 0 (0,1) ??1 (1,??) 拐点 ?? 极小值 ?? ?? ?? y?0??1 ?? 拐点 ?? 在(??,?1)上单调下降，向上凸；在??1,0?单调下降，向上凹；
??1处为拐点。
?0,1?单调上升向上凹；(1,?)单调上升向上凸。?0,1?为极小值点，x例2.55．已知函数f(x)?alnx?bx
2?x在x?1与x?2处有极值，试求a,b的值，并求f- 39 -
?x?创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印
的拐点。 解：f??x??ax?2bx?1, 题意知f?(1)?0，f?(2)?0，得：
?a?2b?1?0? ?a??4b?1?0?2解得：a??f????ax223,b??23x216?， 13?2b?。 ?0, 解得x??2（负号舍去）2时，f??(x)?0，向上凸， 当0?x?故x?2，f??(x)?0，向上凹， 当x?2为f(x)的拐点。 4．最大值、最小值与实际应用 将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。 分析问题的流程为： （1）适当假设求解变量x。 （2）函数关系y?y(x)确定； （3）y??0求解，交待y最大、最小的理由； （4）合理分析。 注：第二步是整个问题的关键步骤，(3)中的理由部分可能是容易疏忽之处。 例2.56．（几何问题）半径为R的半圆内接梯（1） 何时面积最大？ （2） 何时周长最长？
解：设上底长度为2x，即OF?x， 如图所示，OE?R?x， 222形， A E B 22D 2O F C 图示2.2
（1）S(x)?(2x?2R)R?x/2?(x?R)R?x
22S'(x)?R?x?(x?R)?2x2R?x22?R?x22?x(x?R)R?x22
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第二章 导数计算及应用
由S?(x)?0解得x?R/2 （x??R舍去） 因为x?32R2为唯一驻点，即为所求（或S?(R/2)?0）
324此时Smax?R2R/2?R
2（2）l(x)?2x?2R?2BC?2?x?R??2CF?BF 22?2(x?R)?2R?x?(R?x) 2?2(x?R)?22R?2Rx 222l?(x)?2?2?2R22R?2Rx2?2?2R2R?2Rx2， 由l?(x)?0得x?R/2。 因x?R/2为唯一驻点，即为所求（或l''(R/2)?0）， lmax?2(R2?R)?22R?R22?5R。 例2.57．（几何问题）半径为R的圆板，剪下圆心角?围成一个圆锥漏斗，问?为何角度时，使得漏斗的容积为最大？ 解：设圆锥漏斗的下底半径为x， V(x)?13SH?13?x2R2?x 2R O 222V?(x)?1313?(2xR?x?x?2x2R?xx22222) ??x(2R?x?22) R?x图示2.3 由V?(x)?0解得x?0?舍去?，x??2323R（负号舍去） 所以，符合题意的驻点是唯一的x?R， R 即为所求（或V??(23R)?0）， x O - 41 -
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Vmax?13?23R233R?23273?R
图示2.4
由2?x??R推知??2?x2??23R?r 26RR33例2.58．（几何问题）设计一个容积为V＝16?（m）的立方?。 体的有问贮油盖圆锥贮油桶，已知单位面积造价：顶、侧面、底面为1:2:3，桶的尺寸如何设计使造价最低？ 解：设该圆柱形底面半径为r，高为h， 顶单位造价为l（元/平方米）， 由?r2h?V,得 h?V图示2.5 ?r2?16r2， 2总造价函数 M??r23l?2?rh?2l??r2?l ?4?l(r? M??4?l(2r?16r216r)， )?0， 解得：r?2；唯一驻点，即为所求（或M???2??0）， 此时 h?V?4。 ?r2 140x（元），产品产量 x与2例2.59．已知某厂生产x件产品的成本为C(x)?25000?200x?价格P之间的关系：P(x)?440?120x（元） 求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2）当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润？ 解：（1）平均成本 C(x)?C(x)xx2?2500x?140?200??0140x C?(x)??2500 解得： x?1000(件），因C??(1000)?0 所以x?1000(件），平均成本C(x)最小，Cmin?300（元/件） （2）利润函数
Q(x)?P(x)?C(x)?440x?
120x?25000?200x?2140x
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