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19解：由题意知CA,CB,CC1两两互相垂直。如图，以C为原点建立空间直角坐标系C?xyz. 1分
（1）依题意得：B(0,1,0),N(1,0,1), 2分
zC1A1MB1?BN?(1?0)?(0?1)?(1?0)?3.
故BN的长为3. 4分 （2）依题意得：
222NCABA1(1,0,2)B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).6分
y?BA,?1,2),CB1?(0,1,2), 1?(1?BA1?CB1?3,BA1?6,CB1?5, 8分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x
????????????????BA?CB130cos?BA1,CB1??????1?????. 9分
10BA1?CB1又异面直线BA1与CB1所成角的取值范围是?0,????2??
故异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为（3）依题意得：C1(0,0,2),M(,30. 10分10w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11,2), 11分 22?????????11?A1B?(?1,1,?2),C1M?(,,0), 12分
2211?A1B?C1M????0?0, 13分
22?A1B?C1M,即A1B?C1M. 14分
20解：（1）设圆Q的方程为x?y?Dx?Ey?F?0 ， 1分
22?16?4?4D?2E?F?0?20?4D?2E?F?0?D?2???则?4?4?2D?2E?F?0即?8?2D?2E?F?0 解得?E??4 6分?1?25?D?5E?F?0?26?D?5E?F?0?F??4???w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?圆Q的方程为x2?y2?2x?4y?4?0 即?x?1???y?2??9 7分
（2）假设存在直线l:x?1?m?y?2?满足条件，则由（1）知 8分
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????????Q??1,2??GH?PQ??1?1????2?2?22?25 9分
2?1?????设圆心Q到直线l的距离为t ，则?GH??t2?32
?2?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?t?9?5?2 11分
又由点到直线距离公式得t??4m?21?m2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
??4m?24?2 解得m?0或? 13分
31?m2?存在直线l满足条件，其方程为3x?4y?5?0或x?1 14分
21解：（1）?y??2x 1分 ?直线ln的方程为y?yn?2xn?x?xn? 且yn?xn2
令y?0得x?xn?x? 即Bn?n,0? 2?2?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又Bn(xn+1,0), xn?0?xn?1?1xn?n?N?? 3分 2n?11?1??数列?xn?是首项为4 ，公比为的等比数列 ?xn?4???2?2??1?????2?n?3 4分
yn?1xn?12?1?1（2）??2????,y1?x12ynxn?2?42w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
n?11?1??数列?yn?是首项为x12 ，公比为q?的等比数列，且yn?x12???4?4?又y1?x12?0，公比满足0?q?1，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5分
??yn?为递减的等比数列，
∴yn的最大值是y1=x12,
要使得对任意的正整数n都有yn?2009恒成立，只要x12?20092 6分 解得?2009?x1?2009，又?x1?Z，?x1的最大值为2008 7分
2?1?n????2?（3）由（1）得bn?8n?3?1??n??? 8分
?2?nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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1?1??1??1??Tn??bi?1??2????3??????n??? ①
2?2??2??2?i?11?1??1??1??1??1??Tn?1????2????3???????n?1?????n???2?2??2??2??2??2?234nn?1n23n ②
11?1??1??1??1?①-②得 Tn?????????????n???22?2??2??2??2?23nn?1n1??1???1????n?12???2????1???n???
1?2?1?2?1??Tn?2??n?2???? 11分
?2?当n?1时，T1?2?nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
31??1 224当n?2时，T2?2??1 12分
4nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
n?1?1??1?当n?3时，?Tn?1?Tn??n?2??????n?3?????2??2??Tn?T3?2?511??1 88?1???n?1?????2?n?1?0
故Tn>1. 14分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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