高三诊断性测试
数学（理）
命题学校 曲阜市第一中学校 命题人：颜廷生
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．设全集U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩?UB = A．?4，5? B．?1? C ． ?2，3? D．?2? 2．复数(1?)(1?i)=
i1 A．2i B．-2i C．2 D．-2
3．如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 A.
423 B．?2453
2C.
433 D．?2233
124.若??(0,)，且cos??sin(?2?)?，则tan??
A. 1 B．
33 C.
36 D．3
225.已知P为抛物线y2?4x上一个动点，那么点P到Q为圆x?(y?4)?1上一个动点，
点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 A．5 B．8 C．5?2 D． 17?1 6．已知:命题p：“a?1是x?0,x?2
ax?2的充分必要条件”；
命题q：“?x0?R,x0?x0?2?0”.则下列命题正确的是
A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“（┐p）∧q”是真命题 C．命题“p∧（┐q）”是真命题 D．命题“（┐p）∧（┐q）”是真命题 7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩，并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图．为了进一步分析学生的总成绩与各科成绩等绩在［400，500）内共抽出 A. 100 人
B.90人 C. 65人 D.50人
a 0.004 0.003 0.002 0.001 频率/组距 总成绩 (分) 350 400 450 500 550 600 650 方面的关系，要从这10000名学生中，再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则总成
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?3x?m（m为常数），则
f(?log35)的值为
A. ?4 B. 4 C. ?6 D. 6
9．如图，长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2)，曲线y?将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是
yA．C．
51223x经过点B．现
B． D．
1234 OCBy=xAx10．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是
A．36 B．32 C．24 D．20 11．函数y?lnxx 的图象大致是 12.在?ABC中，D为BC的中点，若?A?120， AB?AC??1，则AD是 A.
33?
的最小值
B．
34 C.
23 D．
22
二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
13．执行如图的程序框图，那么输出S的值是 14．已知cos coscos开始 ?3?12
2?52?7?14S?2,k?0否 ?5coscos
3?7?18k?2012?7
S?是 11?Scos 输出S ??
根据以上等式，可猜想出的一般结论是
k?k?1结束 ?x?1?15．若变量x,y满足约束条件?y?x，则w?log3(2x?y)的最大值是
?3x?2y?15?16.若实数x、y、m满足x?m＞y?m，则称x比y远离m.若x2?1比1远离0，则x的取值范围是
三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，a,b,c分别为内角A, B, C的对边，且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC.
（1）求角A的大小； （2）求sinB?sinC的最大值. 18. （本小题满分12分）
已知数列?an?是公差为2的等差数列,且a1?1,a3?1,a7?1成等比数列. (1)求?an?的通项公式； （2）令bn?1an?12 (n?N?),记数列?bn?的前n项和为Tn,求证：Tn?14.
19．（本小题满分12分）
在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为
12.
（1）求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为?，求?的概率分布及数学期望. 20．（本题满分12分）
AB//CD，AD?DC?CB?1,?ABC?60?，如图，在梯形ABCD中，四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平面ABCD，
CF?1.
（1）求证：BC?平面ACFE； （2）点M在线段EF上运动，设平面
MAB与平面FCB所成二面角的平面角为
?(??90)，试求cos?的取值范围.
?
21. （本小题满分12分）
已知函数f(x)?13x?bx?2x?a,x?2是f(x)的一个极值点.
32（1）求函数f(x)的单调区间； （2）若当x?[1,??)时，f(x)?23?a恒成立，求a的取值范围.
222.（本小题满分14分）
直线l与椭圆
ya22?xb22?1(a?b?0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，已知
m?(ax1,by1)，n?(ax2,by2)，若m?n且椭圆的离心率e?32，又椭圆经过点
(32,1)，O为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过椭圆的焦点F(0,c)（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（3）试问：?AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题：BACAD BBACD CD 二、填空题： 13．
12 14．cos?2n?1cos2?2n?1?cosn?2n?1?12n，n?N?．
15．2 16． x?(??,?2)?(2.??) 三、解答题
17．解：（1）由已知，根据正弦定理得2a??2b?c?b??2c?b?c
2即a?b?c?bc， ?????? 3分 由余弦定理得a?b?c?2bccosA
cosA??12,A?120 ?????? 6分
??222222（2）由（1）得：sinB?sinC?sinB?sin(60?B)
?32cosB?12sinB?sin(60?B),?0?B?60????9 分
????故当B?30时，sinB?sinC取得最大值1 . ?????? 12分
18．解：（1）数列?an?是公差为2的等差数列，
a1?1,a3?1,a7?1成等比数列，a3?a1?5,a7?a1?13
2 所以由(a3?1)?(a1?1)?(a7?1) ?????? 3分
得(a1?5)2?(a1?1)?(a1?13)
解之得a1?3,所以an?3?2(n?1),即an?2n?1?????6分 （2）由（1）得an?2n?1 bn?1an?114(1?122?1(2n?1)?112?13?????2?1n14n(n?1)?1n?1)
?1?111(?)???9分 4nn?1Tn???14(1?1n?1)?14?14(n?1)?14 ??????12分
19．解：（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB?AB”，且事件A、B相互独立 ∴P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B) =
12?12?(1?12)?(1?12)?12. ?????6分
1（2）随机变量?的可能取值为0,1,2,3,4，且?～B(4,)
2.∴P(??k)?C4()(1?2k1k12)4?kk14?C4()(k?0,1,2,3,4)
2∴变量?的分布表为：
E??0?116?1?14?2?P ? 0 116381 1414?4?2 383 144 116 1 ?3?16?2 ??????????12分
20．（1）证明：在梯形ABCD中， ∵ AB//CD,AD?DC?CB?1，
∠ABC＝60，∴ AB?2 ?????2分 ∴ AC∴ AB22??AB?AC22?BC2?2AB?BC?cos60o?3
2?BC ∴ BC⊥AC ?????4分
∵ 平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD?AC,
BC?平面ABCD ∴ BC⊥平面ACFE ????6分
（2）由（1）可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴,z轴的如图所示空间直角坐标 系，令FM??(0???∴ AB??3)，则C(0,0,0),A(3,0,0)，B?0,1,0?,M??,0,1?
?3,1,0,BM???,?1,1?
?