bndnn? ）P（cos?）??（cR?）P（s）?nnnco?外n?1n?1RRnn??0，?为有限，当R??时，?外 当R?0时，?内 ?cn?0。?bn?0。????内（anRn???????anRnP所以 ?内 ， ?外（s）nco?nndn P（cos?）n?1nR由于球对称性，电势只与R有关，所以
an?0,(n?1) dn?0,(n?1)
??d0/R ??a0， ?外?内所以空间各点电势可写成?内?a0?Qf4??R ?外?d0R?Qf4??R 当R?R0时，由 ?内??外 得： a0?d0/R0 由 ???内?n??0??外?n得：
Qf24?R0??0Qf?0d0Qf11，?d?(?) 0224??0?4??R0R04?R0?0?QfQf11所以 ?内? ?（?）4??R4?R0?0?QfQfQf11 ??外??（?）4??0R4??R4?R?0? （二）应用高斯定理
在球外，R>R0 ，由高斯定理得：?0?E外?ds?Q总?Qf?Qp?Qf，（整个导体球的束缚电荷Qp?0），所以 E外?则 a0?Qf(11?)
Qf24??0R??QfQf ?外??E外?dR??dR?24??0RRR4??0RQf4??R2R0Rer ，积分后得：
在球内，R E内?er ，积分后得： ??内??E内?dR??E外?dR?R0Qf4??R?Qf4??R0?Qf4??0R 结果相同。 4、 均匀介质球（电容率为?1）的中心置一自由电偶极子pf，球外充满了另一种介质（电容率为?2），求空间各点的电势和极化电荷分布。 解：以球心为原点，pf的方向为极轴方向建立球坐标系。空间各点的电势可 分为三种电荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为pf?R/4??1R3。所以球内电势可写成：?i??'i?pf?R/4??1R3；球外电势可写成： ?o??'o?pf?R/4??1R3 其中?'i和?'o为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，?'i和?'o均与?无关。考虑到R?0时?'i为有限值；R??时 11 ?'o?0，故拉普拉斯方程的解为： ?i???anRnP（(R?R0) ncos?）nbnP（cos?）(R?R0) n?1nnR由此 ?i?pf?R/4??1R3??anRnP（s）(R?R0) （1） nco?????on（n?1）?o?pf?R/4??1R3??bnR?P（(R?R0) （2） ncos?）n边界条件为：?iR?R0??oR?R0 （3） （4） ?1??i?R??2R?R0??o?RR?R0将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较P（ncos?)的系数，可得： an?0,bn?0(n?1) 3a1?(?1??2)pf/2??1(?1?2?2)R0 3b1?a1R0?(?1??2)pf/2??1(?1?2?2) 于是得到所求的解为： ?i?pf?R4??1R3?(?1??2)pfRcos?32??1(?1?2?2)R0(?1??2)??pf?R334??1R2??1(?1?2?2)R0pf?R(?1??2)pfcos?pf?Rpf?R (R?R0)pf?R(?1??2)?o????4??1R32??1(?1?2?2)R24??1R32??1(?1?2?2)R3?3pf?R4?(?1?2?2)R3(R?R0)在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。 ?????p????P????[(?1??0)E]????[10D]?(0?1)??D?1?1 ?(?0/?1?1)?f所以 pp?(?0/?1?1)pf 在两介质交界面上，极化电荷面密度为 ?p?er?(p1?p2)?(?1??0)er?Ei?(?2??0)er?Eo ??(?1??0)由于?1??i?R?(?2??0)R0??o?R R0??i?R??2R0??o?R，所以?p??0(R03?0(?1??2)pfcos???i??o ?)?3?R?RR02??1(?1?2?2)R05、空心导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子p球壳上带电Q，求 空间各点的电势和电荷分布。 12 解：以球心为原点，以p的方向为极轴方向建立球坐标系。在R?R1及R?R2两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为 bnn （aR?）P（?nncos?）n?1Rn当R??时，电势趋于零，所以R?R2时,电势可写为 b (1) ?o??nn?1P（ncos?）Rn当R?0时，电势应趋于偶极子p激发的电势： pf?R/4??0R3?pcos?/4??0R2 pcos?所以R?R1时，电势可写为?i? (2) ??anRnP（ncos?）24??0Rnb设球壳的电势为?s,则?oR??nn?1P（??s (3) ncos?）2Rn2?iR1?pcos?/4??0R12??anR1nP（??s (4) ncos?）n由(3)得： b0??sR2 ；bn?0(n?0) 由(4)得： a0??s ；a1??p/4??0R13 ；an?0(n?0,1) 所以 ?o??sR2/R (5) ?i?pcos?/4??0R2??s?pRcos?/4??0R13 (6) ???R再由 ??0o?dS??0s224?R2?Q 得： S?RR?s?Q/4??0R2 (7) 将(7)代入(5)(6)得：?o?Q/4??0R (R?R2) pcos?QpRcos?1p?RQp?R?i????(3??3) 234??0R4??0R24??0R14??0RR2R1??Q在R?R2处，电荷分布为：??Dn???0o? 2?RR4?R2??3pcos?在R?R1处，电荷分布为：?'??Dn??0i?? ?RR4?R136、在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷?f的绝缘介质球（电容率为?）， 21求空间各点的电势。 解：以球心为原点，以E0的方向为极轴方向建立球坐标系。将空间各点的电 势看作由两部分迭加而成，一部分?1为绝缘介质球内的均匀自由电荷产生，另一部分?2为外电场E0及E0感应的极化电荷产生。前者可用高斯定理求得，后者满足拉普拉斯方程。由于对称性，?2的形式为 ?(aRnnn?bnR?(n?1))Pn(cos?) 33对于?1，当R?R0时，由高斯定理得：D1??fR0 E1??fR0/3R2 ，/3?0R2 当R?R0时，由高斯定理得：D2??fR/3 ， E2??fR/3? 13 R003?1的球外部分： ?o1??(?fR0/3?0R2)dR??(?fR/3?)dR RR0322??fR0/3?0R??fR0/3?0??fR0/6? （1） ?1的球内部分： ?i1??E2?dR??(?fR/3?)dR???fR2/6? （2） RR00对于?2，当R??时，?2??E0Rcos?，所以 ?o2??E0Rcos???nbnP（cos?）(R?R0) n?1nR(R?R0) 当R?0时，?2为有限，所以 ?i2??anRnP（ncos?）n边界条件为：R?R0时，?o2??i2，?0??o2?R??R0??i2?R。即： R0??E0R0cos???bnR0?(n?1)Pn(cos?)??anR0nPn(cos?)?nn ??(n?2)n?1Pn(cos?)???nanR0Pn(cos?)??E0R0cos???0?(n?1)bnR0nn?比较Pn(cos?)的系数，解得： a1??3?0E0/(??2?0) 3b1?(???0)E0R0/(??2?0) an?bn?0(n?1) 3所以 ?o2??E0Rcos??(???0)E0R0cos?/(??2?0)R2(R?R0) (3) ?i2??3?0E0Rcos?/(??2?0)(R?R0) (4) (R?R0) 由(1) (2) (3) (4)得: 233??fR0?fR0(???0)E0R0cos?11?(?)??ERcos???03?2?3?R(??2?0)R2?00???23?0E0Rcos???fR??(R?R0)?6???2?0?7、在一很大的电解槽中充满电导率为?2的液体，使其中流着均匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为?1的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论?1???2及?2???1两种情况的电流分布的特点。 解：本题虽然不是静电问题，但当电流达到稳定后，由于电流密度Jf0与电场强度E0成正比（比例系数为电导率），所以E0也是稳定的。这种电场也是无旋场，其电势也满足拉普拉斯方程，因而可以用静电场的方法求解。 (1)未放入小球时，电流密度Jf0是均匀的，由Jf0??2E0可知，稳恒电场E0 也是一个均匀场。因此在未放入小球时电解液中的电势?0便是均匀电场E0的电势。放入小球后，以球心为原点，E0的方向为极轴方向，建立球坐标系。为方便起见，以坐标原点为电势零点。在稳恒电流条件下，??/?t?0，所以：??J?0 (1) 由(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条件为: n?(J2?J1)?0 (2) 14 设小球内的电势为?1，电解液中的电势为?2，则在交界面上有： ?1R??2R (3) 00?1??1?R??2R?R0??2?R (4) R?R0将J??E及E????代入(1)，得： ??J???(?E)????2??0 可见?满足拉普拉斯方程 考虑到对称性及R??时E?E0，球外电势的解可写成： Jf0b?2??Rcos???nn?1P（(R?R0) (5) ncos?）?2Rn其中利用了Jf0??2E0。 考虑到R?0时电势为有限值，球内电势的解可写成： ?1??anRnP（(R?R0) (6) ncos?）n因为选R?0处为电势零点，所以a0?0，将(5) (6)代入(3) (4)得： bnn (7) P（cos?）??anR0P（ncos?）n?1n?2nR0nJbn?1 (8) ?2[?f0cos???(n?1)nn?2P（]??1?nanR0P（ncos?）ncos?）?2R0nn由(7)(8)两式可得: 3/(?1?2?2)?2 a1??3Jf0/(?1?2?2) , b1?(?1??2)Jf0R0?R0cos???an?0,bn?0(n?1) 所以： ?1??3Jf0Rcos?/(?1?2?2)??3Jf0?R/(?1?2?2) (R?R0) 3?2??Jf0Rcos?/?2?(?1??2)Jf0R0cos?/(?1?2?2)?2R2 3??Jf0?R/?2?(?1??2)R0Jf0?R/(?1?2?2)?2R3 (R?R0) Jf0由此可得球内电流密度: J1??1E1???1??1?3?1?(Jf0?R)/(?1?2?2)?3?1Jf0/(?1?2?2) 电解液中的电流密度为: 33(Jf0?R)RJf0(?1??2)R0J2??2E2???2??2?Jf0?[?3]5(?1?2?2)RR (2)两导体交界面上自由电荷面密度 ?f?er?(D2?D1)??0er?(E2?E1)??0er?(J2/?2?J1/?1) (3) 当?1???2，即球的电导率比周围电解液的电导率大的多时， (?1??2)/(?1?2?2)?13?/(??2?2)?3 ， 11 所以， J1?3Jf0 3J2?Jf0?(R0/R3)[3(Jf0?R)R/R2?Jf0] ?3(?1??2)?0Jf0cos?/(?1?2?2)?2?f?3?0Jf0cos?/?2当?1???2时，同理可得： 15