实际上，继续推演有：
?p?1??'?P(x')P?n1??p?????dV'???dS'??dV'???dS'? ??VVSSr4??0?rr4??r??0??刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势之和。 17、证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。 （1）在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。
（2）在面偶极层两侧，电势有跃变?2??1?n?P/?0，而电势的法向微商是连续的。
（各带等量正负面电荷密度±σ而靠的很近的两个面，形成面偶极层，而偶极矩密度P?lim?l）
???l?0zE证明：1）如图，由高斯定理可得：
?2E??S????S/?0，
x?E??/2?0， ???S?2??1?(?/2?0)z?(?/2?0)z?0
E即，电势是连续的，但是
??1/?n1?E1n?ez?/2?0，??2/?n2?E2n??ez?/2?0
???1/?n1???2/?n2??/?0 φ1 +σ 即，电势法向微商有跃变 n E l 2）如图，由高斯定理可得：E?ez?/?0 φ2 －σ ??2??1?limE?l?lim?n?l/?0 z 12l?0l?0?n?P/?0
又 ??1/?n?E，??2/?n?E
???1/?n???2/?n?0，即电势的法向微商是连续的。
18、一个半径为R0 的球面，在球坐标0????/2的半球面上电势为?0在
?/2????的半球面上电势为??0，求空间各点电势。
P(x)?Pn?1(x)提示：?Pn(x)dx?n?1，Pn(1)?1，
02n?1011?0,（n?奇数）? Pn(0)??n/21?3?5???(n?1)(?1),（n?偶数）?2?4?6???n?解：由题意，球内外电势均满足拉普拉斯方程：?2?内?0；?2?外?0
球内电势在r?0时为有限，球外电势在r??时为0，所以通解形式为：
bP(cos?) 。 ?内??anrnPn(cos?) ，?外??nn?1nnrn??0,(0????/2)???在球面上，内r?R 外r?R，即 ?r?R?f(?)??000??,(?/2????)?0将f(?)按球函数展开为广义傅立叶级数，f(?)??fnPn(cos?)
nn?(n?1)则 anR0?bnR0?fn，下面求fn。
21
2n?112n?1?fn?f(?)Pn(cos?)dcos???Pn(cos?)sin?d?
2??12?0R0?2n?1?2?[??0Pn(cos?)sin?d?????0Pn(cos?)sin?d?]
0220?11?12n?12n?1??[?0?Pn(x)dx??0?Pn(x)dx]??0[?Pn(x)dx??Pn(x)dx]
100022由于Pn(?x)?(?1)nPn(x)，所以
1112n?12n?1fn??0[?Pn(x)dx?(?1)n?1?Pn(x)dx]??0[1?(?1)n?1]?Pn(x)dx
00022当n为偶数时，fn?0；
P(x)?Pn?1(x)12n?1??0[Pn?1(x)?Pn?1(x)]0 当n为奇数时，fn??0[1?1]n?122n?10n?11?3?5???(n?2)??0[?Pn?1(0)?Pn?1(0)]??0(?1)2(2n?1)2?4?6???(n?1)
nan?fn/R0?11?3?5???(n?2)(2n?1) n2?4?6???(n?1)R0n?11?3?5???(n?2)(n?1)?0R0n?1(?1)2(2n?1) bn?fnR02?4?6???(n?1)至此，可写出球内外的电势为
n?11?3?5???(n?2)r ?内???0(?1)2(2n?1)()nPn(cos?),(n为奇数，r?R0）2?4?6???(n?1)R0n?11?3?5???(n?2)R?外???0(?1)2(2n?1)(0)n?1Pn(cos?),(n为奇数，r?R0)
2?4?6???(n?1)r
(?1)n?12?0 22