3J1?0 J2?Jf0?(R0/2R3)[3(Jf0?R)R/R2?Jf0]
8、半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质?，导体球接地，离球心为a处（a >R0）
置一点电荷Qf，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。
解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势
?f??3?0Jf0cos?/2?2?1?Qf/4??R2?a2?2Racos?，
二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的?2。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，?2与?无关。
由于R?0时，?2为有限值，所以球内的?2解的形式可以写成
?i2??anRnPn(cos?) （1）
n由于R??时，?2应趋于零，所以球外的?2解的形式可以写成
b?o2??nn?1Pn(cos?) （2）
Rn由于
R2?a2?2Racos??(1/a)?(R/a)nPn(cos)
n?1?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos)
n（3）
当R?R0时，?内??1??i2
?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos)??anRnPn(cos?) （4）
nn当R?R0时，?外??1??o2
bnP(cos?) （5） n?1nRnn因为导体球接地，所以 ?内?0 （6）
?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos)???外R??内R?0 （7）
00将（6）代入（4）得: an??Qf/4??an?1 （8）
2n?1将（7）代入（5）并利用（8）式得: bn??QfR0 /4??an?1 （9）
将（8）（9）分别代入（4）（5）得:?内?0 (R?R0) （10）
R0Qf20220?外?14??[QfR?a?2Racos?22?aR?(R/a)?2RRcos?/a2](R?R0)（11）
用镜像法求解：设在球内r0处的像电荷为Q’。由对称性，Q’在球心与Qf的连
线上，根据边界条件：球面上电势为0，可得：（解略）
2r0?R0/a， Q'??R0Qf/a 所以空间的电势为
QfR0Qf1QfQ'1?外?(?)?[?] (R?R0)
2222224??r1r24??R?a?2Racos?aR?(R0/a)?2RR0cos?/a
16
9、接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a处(a P内表面上感应电荷对空间电场的作用，空R'R1R心导体球接地，球外表面电量为零，由对 OQQ'称性，Q'应在球心与Q的连线上。 考虑球内表面上任一点P，边界条件要求： Q/R?Q'/R'?0 (1) 式R为Q到P的距离，R’为Q'到P的距离，因此，对球面上任一点，应有 R'/R??Q'/Q?常数 (2) 只要选择Q'的位置，使?OQ'P~?OPQ，则R'/R?R1/a?常数 (3) 设Q'距球心为b，则b/R1?R1/a，即b?R12/a (4) 由（2）（3）两式得: Q'??R1Q/a 1QR1Q/a??[?] 2224224??0R?a?2Racos?R?R1/a?2R1Rcos?/a导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为?Q，分布于内表面。 由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，?外?0。 10、上题的导体球壳不接地，而是带总电荷Q0，或使具有确定电势?0，试求这 两种情况的电势。又问?0与Q0是何种关系时，两情况的解是相等的？ 解：由上题可知，导体球壳不接地时，球内电荷Q和球的内表面感应电荷?Q的 总效果是使球壳电势为零。为使球壳总电量为Q0，只需满足球外表面电量为Q0+Q即可。因此，导体球不接地而使球带总电荷Q0时，可将空间电势看 作两部分的迭加，一是Q与内表面的?Q产生的电势?1，二是外表面Q0+Q产生的电势?2。 1QR1Q/a?1内?[?]，(R?R1) 24224??0R2?a2?2Racos?R?R1/a?2R1Rcos?/a?1外?0， (R?R1)； ?2内?(Q?Q0)/4??0R2， (R?R2)； ?2外?(Q?Q0)/4??0R， (R?R2)，所以 ??(Q?Q0)/4??0R(R?R2) ??(Q?Q0)/4??0R2(R1?R?R2)??14??0[QR2?a2?2Racos??R1Q/aR2?R14/a2?2R12Rcos?/a?Q?Q0]，(R?R1)R2由以上过程可见，球面电势为(Q?Q0)/4??0R2。 若已知球面电势?0，可设导体球总电量为Q'0，则有： (Q?Q'0)/4??0R2??0，即：(Q?Q'0)/4??0??0R2 电势的解为： 17 (R?R2)??0R2/R??(R1?R?R2)?0?R1Q/aQ ???1[?]??0?4??0R2?a2?2Racos?R2?R14/a2?2R12Rcos?/a??(R?R1)?当?0和Q0满足?0?(Q?Q0)/4??0R2时，两种情况的解相同。 Q11、在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图），半 球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并a?Qb?与平面相距为b（b>a），试用电象法求空间电势。 解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电Oa荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电Qb量和位置。 ?Qaaa2a2Q1??Q，r1?ez；Q2?Q，r2??ez； bbbbQ3??Q，r3??bez，所以 PR??Q4??0?[1R2?b2?2Rbcos?a42?1R2?b2?2Rbcos?,(0????2?aa4a2bR?2?2Rcos?bb2 aa?2Rcos?2bbz12、有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面 ?Qa所 (x0,?a,b) 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和 b， 求空间电势。 解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代 ?Q替两导体板的作用。 (x0,?a,?b)Q1??[? 4??0(x?x0)2?(y?a)2?(z?b)2bR2?],R?a)Q(x0,a,b)by?Q(x0,a,?b)(x?x0)?(y?a)?(z?b)11??]222222(x?x0)?(y?a)?(z?b)(x?x0)?(y?a)?(z?b)13、设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为σ的液体。取该两平面为xz面和yz面在(x0,y0,z0)和(x0,y0,?z0)两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体中的电势。 解：本题的物理模型是，由外加电源在A、B两点间建立 电场，使溶液中的载流子运动形成电流I，当系统稳定时，属恒定场，即??/?t?0，??J?0。对于恒定 18 x?1222 ,(y,z?0) zA(x0,y0,z0)o?yB(x0,y0,?z0) 的电流，可按静电场的方式处理。于是在A点取包围A的高斯面，则 ?E?dS?Q/?， 由于I??j?dS，j??E，所以 I/??Q/? 可得：Q?I?/? 。 同理，对B点有： QB??I?/??Q 又，在容器壁上, jn?0，即无电流穿过容器壁。 由j??E可知，当jn?0时，En?0。 Q(?x0,?y0,z0)zQ(x0,?y0,z0)Q(?x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)oy?Q(?x0,?y0,?z0)?Q(?x0,y0,?z0)x?Q(x0,y0,?z0)?Q(x0,?y0,?z0)所以可取如右图所示电像，其中上半空间三个像电荷Q，下半空间三个像电 荷 -Q，容器内的电势分布为： 18?Qi?I1?????[?r?4??4??i?1??i?(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2000????1(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)21(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)1(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)12222222???] 1(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)21(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)21(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)22(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)14、画出函数d?(x)/dx的图，说明???(p??)?(x)是一 个位于原点的偶极子的电荷密度。 ?0,x?0解：（1）?(x)?? ?,x?0?od?(x)?(x??x)??(x)?lim ?x?0dx?x1）x?0时，d?(x)/dx?0 2）x?0时，a) 对于?x?0，d?(x)0???lim??? ?x?0dx?xd?(x)0???lim??? b) 对于?x?0， ?x?0?xdx图象如右图所示。 ???(p??)?(x)??(px1?/?x1?px2?/?x2?px3?/?x3)?(x) 2d?(x)dxx??xdV???(p??)?(x)xdV???(px1?/?x1?px2?/?x2?px3?/?x3)?(x)xdV 其中第一项为： ????(x1)?(x2)?(x3)?(x1e1?x2e2?x3e3)dx1dx2dx3 ??[(px1)?(x)]xdV???px1?x1?x1 19 ??(x1)d?(x1)?(x2)?(x3)(x1e1?x2e2?x3e3)dx1dx2dx3??e1?px1x1dx1 ?x1dx1d?t?(t)?d?(t)d?(t)d?t?(t)???(t)?t???(t)，可得： 应用，即tdtdtdtdtd?(x1)?e1?px1x1dx1??e1?px1d?x1?(x1)??e1?px1?(x1)dx1 dx1??e1px1x1?(x1)?e1px1?e1px1 (x=0) ???px1同理可得另外两项分别为e2px2及e3px3，所以，??xdV?p,即 p是一个位于原点的偶极子的电荷密度。 15、证明：（1）?(ax)??(x)/a (a?0)，（若a?0，结果如何？） （2）x?(x)?0 证明：1) 显然，当x?0时，?(ax)??(x)/a成立；又 ????d(ax)1??1?(ax)dx??(ax)??(ax)d(ax)? ??????aa???a??????(x)dx?1 ??????所以?(ax)??(x)/a在全空间成立。 若a?0，??(ax)dx???(?ax)dx???(?ax)??????d(?ax)1?? ?aa即，?(ax)???(x)/a 所以?(ax)??(x)/a在全空间成立。 2) 由?(x)的选择性证明。 ?x?(x)?x?(x)?0，而?x?(x)dx?x????x?0?0 ?x?(x)?0 ，进而x?(x)?0 16、一块极化介质的极化矢量为P(x')，根据偶极子静电势的公式，极化介质所 P(x')?r产生的静电势为???dV'，另外根据极化电荷公式?p???'?P(x')3V4??0r及?p?n?P，极化介质所产生的电势又可表为 ?'?P(x')P(x')?dS'，试证明以上两表达式是等同的。 dV'??V4??rS4??0r0 证明：由第一种表达式得 1P(x')?r1?1???dV'?P(x')??'??dV' 3??VV4??04??0r?r??1?1?1???'??P???'?P?P??'?? ?r?r?r?1??'?P(x')?P(x')??????dV'??'???dV'? ???VV4??0?r?r???????1??'?P(x')?P(x')?， ?dV'??dS'??????VS4??0?r?r??所以，两表达式是等同的。 ? 20