2011年南山中学实验学校自主招生各科考试模拟试题含答案(4)

人 数 11 0 8 （1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角 等于 °． （2）请你将图11-2的统计图补充完整． （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分， 乙校成绩条形统计图 人数 请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪8 8 个学校成绩较好． 5 （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体 6 4 4 赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手， 2 请你分析，应选哪所学校？ 0 7 分 8分 9分 10分 分数 图11-2 21．（本小题满分12分） y 如图12，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与 D 坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B M B A 的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直 N 线分别与AB，BC交于点M，N． x O C E （1）求直线DE的解析式和点M的坐标； m（2）若反比例函数y?（x＞0）的图象经过点M， x图12 求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数y?m（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围． ．．x22．（本小题满分12分） 某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表： 成本（万元/套） 售价（万元/套） A 25 30 B 28 34 （1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？ （2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？ （3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a>0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？ 数学试题第 16 页 （共 37 页） 16 23．（本小题满分12分） 在图13-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图13-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图13-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 图13-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD； （3）将图13-2中的OB拉长为AO的k倍得到 图13-3，求BD的值． ACM D 2 O A N 1 B 图13-1 D 2 O M 24．（本小题满分12分） A 1 C 图13-2 B N D 2 O A 1 C 图13-3 B M N 如图14，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?B?90?，AD = 6，BC = 8，AB?33，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止． 设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)． A D （1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中， 写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）． E （2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积． （3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖， B C 被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 P M Q 大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围； 图14 ．．若不能，请说明理由． A D B C M （备用图） 数学试题第 17 页 （共 37 页） 17 25．（本小题满分14分） 如图15，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过x轴上的两点A(x1,0)、B(x2,0)和y轴上的点3C(0,?)，?P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b?3a，AB?23． 2求： （1）抛物线的解析式； （2）D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？ 并说明理由； （3）设直线BD交?P于另一点E，求经过点E和?P的切线的解析式． 数学试题第 18 页 （共 37 页） 18 y M O P E D Q C B A x 图15 2011年绵阳南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一） 数学参考答案 一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 13.5 14.5 15. 三、解答题 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 9 A 10 B 11 B 12 C 7 16.1 17. = 18. C、B、A、E、D. 10?1?2(x?1)19．（1）解：x， x?3． a?2 经检验知，x?3是原方程的解．??????8分 （2）解： 原式?[?]?2a(a?2)(a?2)a?4 a?2a?1?(a?2)(a?2)?a(a?1)a?2?a(a?2)2a?4a2?4?a2?aa?2??2 a(a?2)a?4 a?4a?2?? a(a?2)2a?4 1 ? a(a?2) 1 ?2a?2a ??????6分 由已知得a?2a? 2 32，代入上式的原式???????8分 23 乙校成绩条形统计图 人数 8 20．解：（1）144；??????3分 （2）如图1；??????6分 8 6 5 4 4 3 2 0 7 分 8分 9分 10分 分数 图1 （3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；??????8分 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断， 乙校的成绩较好．??????9分 数学试题第 19 页 （共 37 页） 19 （4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得 10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．??????12分 21．解：（1）设直线DE的解析式为y?kx?b， ∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0）， ?3?b,∴ ? 0?6k?b.?1?1?k??,解得 ?2 ∴ y??2x?3．??????2分 ??b?3.∵ 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形， ∴ 点M的纵坐标为2． 1又 ∵ 点M在直线y??x?3上， 2 ∴ 2 = ?1．??????4分 x?3．∴ x = 2．∴ M（2，2）2m（x＞0）经过点M（2，2）， x4.??????5分 x （2）∵y?∴ m?4．∴y? 又 ∵ 点N在BC边上，B（4，2）， ∴点N的横坐标为4． 1∵ 点N在直线y??x?3上， 2 ∴ y?1．∴ N（4，1）． ??????8分 ∵ 当x?4时，y =∴点N在函数 y?4= 1， x4 的图象上．??????9分 x （3）4≤ m ≤8．??????12分 22．解：（1） 设A种型号的仪器造x套,则B种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得:2090?25x?28?80?x??2096 解之得:48?x?50 ??????2分 所以 x=48、49、50 三种方案： 即：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套。??????4分 （2）该厂制造利润W（万元）由题意知：W?5x?6?80?x??480?x 所以当x=48时，W最大＝432， （万元）即：A型48套，B型32套获得利润最大；?????7分 数学试题第 20 页 （共 37 页） 20