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文刀川页丛书
xn?1与xn1x1（II）在（I）的结论中，求出
?x?的递推关系。若x1?1，求数列n的通项公式；
2x3?3x5?????nx2n?1Rn??（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数m，M，
使得不等式m n?n?1?2n?an18. 设数列 ?an?a1?t(t?1)，an?1?，(n?1，2，……)满足 an? (n?1，2，……)n??n?1???n?2?t?n??n?1?t （I）用数学归纳法证明： lima1a2……an?1n!； （II）求n?? 。 19. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示： 新植亩数 沙地亩数 1998年 1000 25200 1999年 1400 24000 2000年 1800 22400 而一旦植完，则不会被沙化： 问：（l）每年沙化的亩数为多少？ （ll）到那一年可绿化完全部荒沙地？ 20. 已知 f(x)?(x?1)2，g(x)?10(x?1)，数列 ?an?满足 a1?2， 我们共同努力！ ? 文刀川页丛书 bn?910(n?2)(an?1)(an?1?an)g(an)?f(an)?0， ． （Ⅰ）求证：数列?an?1?是等比数列； （Ⅱ）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值； tm（III）若 bm?tm?1bm?1对任意m?N恒成立，求实数t的取值范围． *21. 以数列 {an}的任意相邻两项为坐标的点 {bn}Pn(an,an?1)(n?N)均在一次函数y?2x?k的图象上，数列满足条件： bn?an?1?an(n?N,b1?0)， （1）求证：数列（2）设数列 22. 已 知 {bn}是等比数列； 的前n项和分别为 Sn{an}， {bn}， Tn，若 S6?T4， S5??9，求k的值. 函数 f(?x)*alox且?ga?， a若数列： 2,f(a1),f(a2),?,f(an),2n?4(n?N)成等差数列. (1)求数列 {an}的通项 an； b?an?f(an){b}S(2)若a?2，令n，求数列n前n项和n； *b?f(3)在(2)的条件下对任意n?N，都有n?1(t)，求实数t的取值范围. g(x)?px?qx?2f(x)23. 设数). (1)求 p.其中 f(x)?lnxg(e)?qe?pe?2，且 (e为自然对数的底 与的关系； pq(2)若g(x)在其定义域内为单调函数，求 的取值范围； 我们共同努力！ ? 文刀川页丛书 (3)求证：(i) f(x)?x?1(x?0)； ln2?ln332(ii) 2 2???lnnn2?2n?n?14(n?1)2(n?N,n?2)* f(x)?ax?bx?2lnx,f(1)?024. 已知函数． （Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围； an?1?f?(1an?n?1)?n?12（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且知a1 = 4，求证：an ? 2n + 2； 1?11?a2?11?a3???，已 11?an2（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较明你的理由． 答案 1.解： (1) 设等差数列 1?a1与5的大小，并说 ?an?的公差为d，由题意得 ?ak?ak?1?4k?2?ak?ak?1??ck ??1??2?(k是正整数) ?ak?ak?1?4k?a?ak?2?4(k?1)?1?由 得 ?k?1?3??4? ?d?2 ?4???3??3?得得ak?2?ak?4?2d 由 an?an?1?an?an?2?4n,?an?2n?1?a1?a2?4?a?a3?8?1?另解:由 得 ?2由?2?式得an?an?1?2cn?d?2得??a1?1 (其余略) (2) 我们共同努力！ ? 文刀川页丛书 ?cn?2anan?1?2(2n?1)(2n?1)131315?12n?1?12n?11 12n?1)?1?12n?112n?1 (10分) c1?c2???cn?(1?)?(?)???(2n?1? ?c1?c2???cn???lim(c1?c2???cn)?lim(1?n??n??)?1 由?1??2?得2ancn?(2n?1)(2n?1)2(3) ∵n是正整数, 2a5 2(2n?1)(2n?1)是随n的增大而增大, ?1573又 c5?8912a6c6＜981, 2an＞981 ∴ 整数981不是数列｛ cn｝中的项. 2.解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点 (n,Sn)(n?N)?S均在函数y?f(x)的图像上，所以n＝3n2－2n. 23n?1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－?（?2(n?1)?＝6n－5. ?当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N） bn?3anan?131（Ⅱ）由（Ⅰ）得知 n＝(6n?5)?6(n?1)?5?＝26n?5(1?16n?1， )故Tn＝i?11?bi11111?1?11(1?)?(?)?...?(?)?77136n?56n?1??＝2（1－6n?1）. ＝2?1m1m?因此，要使2（1－6n?1）<20（n?N）成立的m,必须且仅须满足2≤20，即m≥10， 所以满足要求的最小正整数m为10. 3.解：（1）数列{ 又∵ ∴ an}为等比数列， ∴ a3?a1?2d2 为等比数列， 2a3?a1?f(d?1)?f(d?1)?d?(d?2)22， d?(d?2)?2d，解得d＝2， a1?f(1)?0 我们共同努力！ ? 文刀川页丛书 b3?q2 ∴ an?2(n?1)b3 又∵ ?{bn}2为等比数列，∴ (q?2)2b12 而 b1?f(q?1)f(q?1)(q?2)q2，∴ q2?q n?1b?4(?2) ∵ q?1，q?R，∴ q??2，b1?4 ∴ n?(?2)n?1 c1 （2）由 c1?b1c2b2?c2b2??cnbn?an?1… ?cn?1bn?1 ① b1??an… ② cn ①-②得 bn?an?1?an?2 ∴ cn??2cn?2bn?2?(?2)n?1?8(?2)n?1 对于 {cn}， cn?1，c1?8，知其为等比数列 ?83[1?(?2)]nSn?8[1?(?2)]1?(?2)n ∴ lim， 2n?12nS2n?1?83[1?(?2)2n?1]， S2n?83[1?(?2)2n] S2n?1S2n ∴ n???1?(?2)n??lim1?(?2)??2 qx?px2f?(x)?px?(p?q)??(p?q)x?qx?(x?1)(px?q)x,4.解：（I）解： f?(x)?0,得x?1或x?qp,?0?qp?1, 令 1 （1，+∞） 当x=变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： qqp q（0，p） f′(x) + （p，1） － 0 极小值 + 0 极大值 f(x) 所以f(x)在x=1处取得最小值，即a1=1. y?2px2?qx?f?(x)?q?2px2?px?p,（II） 2Sn?2p?an?p?an?p,(n?N)2*， 由于a1=1，所以 2a1?2p?a1?p?a1?p,得p?1.2 我们共同努力！