第十届“新秀杯” 校园数学建模竞赛
论文题目：教室座位选择
队员1 姓名 王杨 学号 2016117557 专业 电气工程 联系方式 18295984767 队员2 母博宇 2016117558 电气工程 13890874956 队员3 李佳峻 2016117577 电气工程 15320282528 摘要
本文研究了关于西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际，合理假设，建立模型进行求解，旨在找出最适合听课的座位。本篇论文我们通过仔细读题，确认该题属于数学规划最优解模型。
在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角，仰角两个决策指标，所以我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表示视角α和仰角β，使用了满意度函数f(β,α)来衡量不同位置同学们满意度，以得到最佳位置。为了消除两项决策指标的量纲不同的影响，我们用变异系数法来衡量各项指标的权重大小，其
?中定义│β-│和αmax-α为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变
6量，而满意度函数值f(β,α)函数值越小，则表示该座位越合适。因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在普通教室和阶梯教室最小值点均在第二排处取得。紧接着，我们又绘制了满意度函数与座位数n的函数图像进行验证。最后我们可以得到结论，普通教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。
问题二在问题一的基础上增加了一个决策指标L，我们在问题一的决策指标基础上增加了一个新的决策变量L，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g(β,α,L)最小值点的求解，我们解得：普通教室g(β,α,L)最小是在第一排取得，阶梯教室g(β,α,L)最小也是在第一排处取得。我们又绘制了满意度函数g(β,α,L)与座位排数n的图像进行验证，综上，我们得出普通教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。
本文最大的特色在于：通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来，作为座位的属性，给出了衡量舒适度的方法。此种数学模型能够帮助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。
关键词：满意度函数 变异系数法 MATLAB软件
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一．问题提出
自高中升入大学，许多学生一下子从紧张的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。
西南交通大学峨眉校区六号楼的教室大体可以分为两类，一类是普通教室，一类是阶梯教室。据悉，座位的满意程度主要取决于视角?和仰角?，视角?是学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角，?越大越好；仰角?是学生眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角，?太大会引起人的头部过分上仰而引起不适，最适宜的角度大约为30?，另外所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。
我们设屏幕下边缘距地面高度为h1，屏幕高h2，普通教室第一排与屏幕的水平距离为D1，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为D2 ，每一排的距离为d，普通教室总共为学生平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数h1?1.2，h2?3，D1?3 ，D2?4，c?1.1（单位：m），普通教室总共有8排，阶梯教室总共有14排且从第6排开始有阶梯，每节阶梯有一排座位且高度为0.1m。
1、假设不考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位；
2、考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。
二．基本假设
1.人的双眼简化为一个质点，将示意剖视图中的座椅和人简化为通过人眼的竖直线段，竖直线段的上端点为人眼被简化成的质点。
2.人在座位上晃动时眼睛的位置变化对问题的影响忽略不计。 3.黑板的宽度忽略不计。
4.老师的位置与黑板的位置重合，且老师的位置固定不变。
三. 符号说明
符号 X Y N 意义 建立直角坐标系后x轴方向上的变量 建立直角坐标系后y轴方向上的变量 人眼所表示的质点 单位 备注 下标的字母表示某一点 下标的字母表示某一点 2
M P Q n L h1 h2 d c D1 D2 h3 α β αmax与人眼在同一水平线且位于黑板上的点 与N点在同一竖直线的位于黑板下边缘的点 与N在同一竖直线的位于黑板上边缘的点 学生座位所处的排数 学生与老师的距离 屏幕下边缘距地面高度 屏幕高度 每一排的距离 学生的平均坐高 普通教室第一排到屏幕的距离 阶梯教室第一排到屏幕的距离 阶梯教室每节阶梯高度 视角：学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角 仰角：学生眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角 普通教室和阶梯教室α角的最大值 满意度函数 满意度函数 变异系数 标准差 平均值 权重
四.问题分析
f() g() V δ X K
米（m） 适用于问题二 米（m） 已知为1.2 米（m） 已知为3 米（m） 已知为0.5 米（m） 已知为1.1 米（m） 已知为3 米（m） 已知为4 米（m） 已知为0.1 弧度 弧度 不同问题中分弧度 别表示两个教室α角 问题一 问题二 下标为不同指标 大学的学习依然需要我们的努力，而听课的质量则是关键，好的座位能够提升我们的听课效率。不同的座位所对应的视角α、仰角β以及距离老师的远近不同，学生的听课效率也有所差异。所以，下面我们将结合这三个因素，综合考虑最佳听课位置。
在问题一中，未考虑与老师的距离因素，所以，我们只需研究视角α与仰角β两个因素。因为教室又分为两种：我们可以发现，其中阶梯教室是有一部分与普通教室的属性完全一样的。所以，我们可以讨论阶梯教室的情况，从而建立适用于两种情况的模型；而问题二，是在问题一的基础上，加了一个约束因素，即座位与老师的距离L。此时我们想到了用构造一个平面坐标系来将支点，夹角放入坐标系中进行讨论，用坐标变换来表示视角、仰角、学生与老师的距离，使问题更加清晰明白。
因为是求解最优化问题，所以我们想到了构造满意度函数。最后因为我们并不知道视角、仰角与学生与老师距离对听课效率的影响程度，所以我们又使用了变异系数法来确定权重，来衡量不同座位所含的因素β，α或因素β，α
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和L对听课效率的影响程度大小，从而选出最佳位置。
下面是两个问题思路的流程图： 建立直 提取决构造满角坐标变异系题目分 权重 定因素 意函数 系 数法 析 未知 用 坐 视 仰 距 标 角 角 离 表 示 流程图
4.2问题一的概述：
本部分我们将主要说明如何使用题中所给的数据。对于我们所求的视角和仰角，可以在直角坐标系中，通过向量的夹角来求解。而题中的数据则可以确定物体在直角坐标系中的坐标，即将物理模型转换为数学模型。
通过分析可知，视角与仰角的表达式是由多个已知量和一个未知量（座位的排数n）组成的，所以，我们就将现实生活问题用数学模型表达了出来。接下来，我们就可以用构造满意函数的方法比较不同座位的视角与仰角对问题的影响程度。
4.3问题二的概述：
问题二是在问题一的基础上，增加了一个学生与老师的距离因素，从而再来讨论不同座位对学习效率的影响。首先，我们需要考虑阶梯教室中前排的同学能否挡住后排同学的视线。因为在视角的范围内，后面同学的视线易被前排同学挡住。经过数学计算，我们发现后面同学的视线并不会被前排同学挡住。这就消除了我们的顾虑。接着我们通过分析数据发现，距离L=D2+(n-1)d,即L也是由n来确定的。这样，则三个因素可由n来连接的。示意图如下所示： 视角 表示 n的表达满意度函仰角
式 数
流程图 距离 五、模型的建立与求解 5.1 问题一模型建立与求解
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