g(β,α,L)=K1│β- 我们以│β-
?│ + K2 (α6max
-α)+K3 L （46）
?│ ，αmax-α和L为决策指标，显然，满意度函数的函数值6越小，说明β和α与最佳角度越接近且座位越靠前，即满意程度越高，因此我们只需要求出满意度函数在定义域范围内的最小值点，即可求问题二中的最佳位置。
5.2.3 问题二模型的求解
?│ ，αmax-α组成数组的平均值，标6准差，变异系数与问题一一致，在此不再赘述。
普通教室：
将模型（34）（40）（43）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排L分别为：
3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 （47）6.0000 6.5000
将模型（1）（47）输入MATLAB软件，解得普通教室L组成的数组的标准差为1.2247，平均值为4.7500，变异系数为0.2578 （48）
将模型（2）（22）（25）（48）输入MATLAB软件，解得普通教室β，α，L的权重K1,K2,K3分别为：
0.4078 0.4149 0.1773 （49）
将模型（21）（23）（46）（49）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排满意度函数值g(β,α,L)分别为：
0.5680 0.6543 0.7744 0.9004 1.0202 1.1352 1.2463 1.3543
很明显，当n=2时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题二中普通教室第一排为最佳位置。
阶梯教室：
将模型（35）（39）（41）（42）（44）（45）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排L分别为：
4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 （50） 将模型（1）（50）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排L组成的数组的标准差为 2.0917，平均值为7.2500，变异系数为0.2885 （51） 将模型（2）（29）（32）（51）输入MATLAB软件，解得阶梯教室β，α， 问题二中，普通教室和阶梯教室│β-
15
L的权重K1,K2,K3分别为：
0.3583 0.4305 0.2112 （52）
将模型（29）（31）（46）（52）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排满意度函数值g(β,α,L)分别为：
0.8823 0.9811 1.1159 1.2575 1.3930 1.5697 1.6965 1.8210 1.9433 2.0639 2.1830 2.3007 2.4173 2.5329
很明显，当n=1时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题二中阶梯教室第一排为最佳位置。 5.2.4 问题二结果的分析及验证
问题二中 我们绘制出了满意度函数g(β,α,L)随座位排数n变化的图像，普通教室满意度函数如图6所示，问题二中阶梯教室满意度函数如图7所示。
图6
图7
16
由图6可以清晰直观地看到，当横坐标值为1时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=1是函数在定义域的最小值点。因此，问题二中权衡β，α角和L后，得到普通教室最佳位置是第一排。
同样，由图7可以清晰直观地看到，当横坐标值为1时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=1是函数在定义域的最小值点。因此，问题二中权衡β和α角和L后，得到阶梯教室最佳位置也是第一排。
六、模型的评价与推广
6.1 模型的评价
优点：（1）本论文准确地抓住了题中所给条件的关键，通过数学建模将现实生活中的问题转化为了数学模型，更加直观，清晰。
（2）在模型建立中我们采用了各种软件（如MATLAB,AUTOCAD,WPS，MATHTYPE等)进行求解制图，计算结果较为精确。本论文还使用了变异系数法，计算多种决策因素的权重，增加了论文的可信度。
缺点：（1）只考虑了学生座位的排数对听课效率的影响，还未讨论所坐的列数对结果的影响。 （2）任何模型、系统都受到实际生活中的各种限制，本模型也不例外，为了简化模型，基本假设很多都是理想状态。例如我们无法得知教室内学生听课时的双眼所在位置在怎样改变。 6.2 模型的推广
本模型能够运用于其他座位选择问题，例如在电影院选座时，我们可以运用此模型来选择最佳的座位。因为电影院的座位的地板线呈一定角度γ，所以，在建立直角坐标系求解座位的坐标时，需要将γ引入，即人的双眼高h=（n-1)dtanγ=yr，其中n为座位的排数，d为每排座位的间隔。再运用本论文的模型，通过满意度函数求解出最佳座位。
七、参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2011年1月
[2]（美）Mark M.Meerschaert著.刘来福，黄海洋，杨淳译.数学建模方法与分析（原书第4版），机械工业出版社，2016年10月
[3]张志勇，杨祖樱等.MATLAB教程,北京航空航天大学出版社，2015年1月
17
[4]卓金武等.MATLAB在数学建模中的应用（第二版），北京航空航天大学出版社，2014年9月
八、附录
8.1 附录清单
附录1：求解问题一的MATLAB程序 附录2：求解问题二的MATLAB程序 附录3：问题一的完整数据 附录4：问题二的完整数据
8.2 附录正文
附录1：求解问题一的MATLAB程序
n =
1 2 3 4 5 6 7 8 n1 =
6 7 8 9 10 11 12 13 14 n2 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14
x1 = [(0.5*n + 2.5).^2 + 0.21]
y1 = [((0.5*n + 2.5).^2 + 0.01).^0.5.*((0.5*n + 2.5).^2 + 4.41).^0.5] a=acos(x1./y1) x2=[(0.5*n+2.5)]
y2=[((0.5*n+2.5).^2+4.41).^0.5] b=acos(x2./y2) bb=abs(b-pi/6)
x3=[(0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).*(2.6-0.1*n1)]
y3=[((0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).^2).^0.5.*((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5]
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13 a1=acos(x3./y3) x4=[0.5*n1+3.5]
y4=[((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5] b1=acos(x4./y4) ca=[a([1,2,3,4,5]),a1] cb=[b([1,2,3,4,5]),b1] bb1=abs(cb-pi/6) aa=[0.5774-a] aa1=[0.5774-ca] bzca1=std(aa1) bzca=std(aa) bzcb=std(bb) bzcb1=std(bb1) pjza=mean(aa) pjza1=mean(aa1) pjzb=mean(bb) pjzb1=mean(bb1) w1=bzca/pjza w2=bzcb/pjzb w3=bzca1/pjza1 w4=bzcb1/pjzb1 k1=w1/(w1+w2) k2=w2/(w1+w2) k3=w3/(w3+w4) k4=w4/(w3+w4) f1=k1*aa+k2*bb f2=k3*aa1+k4*bb1
附录2：求解问题二的MATLAB程序
x1 = [(0.5*n + 2.5).^2 + 0.21]
y1 = [((0.5*n + 2.5).^2 + 0.01).^0.5.*((0.5*n + 2.5).^2 + 4.41).^0.5] a=acos(x1./y1) x2=[(0.5*n+2.5)]
y2=[((0.5*n+2.5).^2+4.41).^0.5] b=acos(x2./y2) bb=abs(b-pi/6)
x3=[(0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).*(2.6-0.1*n1)]
y3=[((0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).^2).^0.5.*((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5] a1=acos(x3./y3) x4=[0.5*n1+3.5]
y4=[((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5] b1=acos(x4./y4) ca=[a([1,2,3,4,5]),a1] cb=[b([1,2,3,4,5]),b1] bb1=abs(cb-pi/6)
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