约束条件为人眼所表示的质点可行域的范围(人眼所表示的位置在坐标系的位置限制),即
Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （16） Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (阶梯教室1到5排) （17）
Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14 (阶梯教室6到14排) （18）
因此我们最后建立的满意度函数为
? f(β,α)=K1│β-│ + K2 (αmax-α) （19）
6 上式是在考虑最适宜的β和最适宜的α不同位置取得时所建立的模型，易得，当最适宜的β和α在同一位置取得时，上述模型也同样适用。这样，我们
?就可以将两种情况统一起来。我们以│β-│ 和αmax-α为决策指标，显然，
6满意度函数的函数值越小，说明β和α与最佳角度越接近，即满意程度越高，因此我们只需要求出满意度函数在定义域范围内的最小值点，即可求得最佳位置。
5.1.3 问题一模型的求解
1)普通教室
将模型（3）（9）（12）（16）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排β角分别为
0.6107 0.5404 0.4834 0.4366 0.3976 0.3647 0.3367 0.3125 （20）
?│β-│ 将模型（14）（20）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排
6分别为
0.0871 0.0168 0.0402 0.0870 0.1260 0.1589 0.1869 0.2111 （21）
?│β-│组成的将模型（1）（21）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排6数组的标准差为 0.0976，平均值为0.1645，变异系数为0.6033 （22）
将模型（6）（9）（13）（15）（16）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排α角分别为
0.5774 0.5119 0.4585 0.4144 0.3776 0.3466 0.3200 0.2971
由此可见，普通教室中第一排的α角最大，αmax=0.5774 （23）
将模型（15）（23）输入MATLAB软件中，解得普通教室1到8排αmax-α分
10
别为
-0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2308 0.2574 0.2803 （24）
将模型（1）（24）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排αmax-α组成的数组的标准差为0.0689，平均值为 0.1142，变异系数为 0.5931 （25）
将模型（2）（22）（25）输入MATLAB软件，解得普通教室β和α的权重K1和K2分别为
0.5043 ，0.4957 （26） 将模型（19）（21）（24）（26）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排满意度函数值f(β,α)分别为
0.0439 0.0410 0.0792 0.1247 0.1626 0.1945 0.2219 0.2454
很明显，当n=2时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题一中普通教室第二排为最佳位置。
阶梯教室：
将模型（4）（5）（10）（11）（12）（17）（18）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排β角分别为
0.6107 0.5404 0.4834 0.4366 0.3976 0.2985
0.2650 0.2355 0.2094 0.1861 0.1651 0.1463 0.1293 0.1138 （27）
?│β-│将模型（11）（27）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排
6分别为
0.0871 0.0168 0.0402 0.0870 0.1260 0.2251
0.2586 0.2881 0.3142 0.3375 0.3585 0.3773 0.3943 0.4098 （28） 将模型（1）（2）（28）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排│β?-│组成的数组的标准差为 0.1395，平均值为 0.2372，变异系数为 0.5880 6（29）
将模型（4）（5）（7）（10）（11）（13）（17）（18）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排α角分别为：
0.5774 0.5119 0.4585 0.4144 0.3776 0.2985
0.2793 0.2622 0.2469 0.2331 0.2206 0.2094 0.1992 0.1898
由此可见，阶梯教室中第一排的α角最大，αmax=0.5774 （30）
将模型（15）（30）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排αmax-α分
11
别为
-0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2789
0.2981 0.3152 0.3305 0.3443 0.3568 0.3680 0.3782 0.3876 （31）
将模型（1）（31）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排αmax-α组成的数组的标准差为0.1260，平均值为0.2575 ，变异系数为 0.4895 （32）
将模型（2）（29）（30）输入MATLAB软件，解得阶梯教室的β和α的权重K1和K2分别为：
0.5457 0.4543 （33）
将模型（19）（28）（31）（33）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排满意度函数值分别为
0.0475 0.0390 0.0759 0.1215 0.1595 0.2495
0.2765 0.3004 0.3216 0.3406 0.3577 0.3731 0.3870 0.3997
很明显，当n=2时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题一中阶梯教室第二排为最佳位置。
5.1.4 问题一结果的分析及验证
我们绘制出了满意度函数g(β,α,L)随座位排数n变化的图像，问题一中普通教室满意度函数如图4所示，问题一中阶梯教室满意度函数如图5所示。
图4
12
图5
由图4可以清晰直观地看到，当横坐标值为2时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=2是函数在定义域的最小值点。因此，问题一中权衡β和α角，普通教室最佳位置是第二排。
由图5可以清晰直观地看到，同样，是当横坐标值为2时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=2是函数在定义域的最小值点。因此，问题一中权衡β和α角，阶梯教室最佳位置也是第二排。 5.2 问题二模型建立与求解 5.2.1 问题二的分析
问题二在问题一的基础上增加了一项新的考虑因素：座位与距离老师远近产生的影响，问题二仍是要求我们得出普通教室和阶梯教室的最佳位置。在问题一所考虑的β和α基础上增加了新的决策变量：学生距离黑板的距离L。我们将按照与问题一一样的方法建立模型，进行求解。 5.2.2 问题二模型的建立
同问题一求解思路一致，我们在问题二中也将建立满意度函数g(β,α,L),仍然以座位排数n自变量，与问题一一样，我们需要客观考虑β，α和距离L三者对于满意度的“重要性”，即各个决策指标对于满意度的影响程度，即如何分配各个变量的权重。本问题中，我们仍然采用变异系数法来确定β，α和L的权重。对于β，α的平均值，标准差以及变异系数与问题一一致，我们将L所组成的数组的权重记为K3。β，α的权重仍记为K1和K2。而L所组成的数组
的平均值，标准差，变异系数的方法与β，α一致。下面我们来确定L以及
?│β-│和αmax-α，以来建立模型。
6
1)L的确定：
距离L我们可以用人眼所表示的质点所在位置的横坐标的数值来表示，即
13
L=D1+(n-1)d (普通教室) （34） L=D2+(n-1)d (阶梯教室) （35）
?2)│β-│和αmax-α的确定：
6? 问题二中│β-│和αmax-α的确定与问题一一致，在此不再赘述。
6
决策变量：
????│β-│（即β与差值的绝对值）来表示β与 1)仰角β最接近,我们用
6666??的接近程度，│β-│越小，β与越接近，即β所决定的满意程度越高。因
66?此为使β所决定的满意程度最高，我们要使│β-│最小。
6???????NP?NQ??????) min│β-│ =arccos(（36） 即
6NP?NQ
2)视角α越大越好，即为使α所决定的满意程度最高，我们要让α最大化，
??????NP?NQ?? 即min αmax-α=arccos (????) （37）
NP?NQ
3)所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。即人与黑板的距离L越小越
好，我们用直接用决策变量L来表示，为了使L所决定的满意程度最高，我们需要使L最小，即
min L=Xn=D1+(n-1)d (普通教室) （38）
min L=Xn=D2+(n-1)d (阶梯教室) （39）
约束条件：人眼所表示的质点可行域的范围(人眼所表示的位置在坐标系的位置限制),即
Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （40） Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (阶梯教室1到5排) （41） Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14 (阶梯教室6到14排)（42）
L=Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （43） L=Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (阶梯教室1到5排) （44）
L=Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14(阶梯教室6到14排）（45）
我们最后建立的满意度函数为：
14