【答案】36。
【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。
∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线。 ∴EH=
12 BD=3。
12同理可得EF=GH= AC=3，FG=
12 BD=3。
∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。 ∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。 在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE+OH=EH=9。 等式两边同时乘以4得：4OE+4OH=9×4=36。 ∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。
7. （2012四川巴中3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC
的中点，且DE∥AB， 则∠BCD的度数是 ▲
2
2
2
2
2
【答案】60°。
【考点】等腰梯形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】∵BD⊥AC，点E是BC的中点，∴DE是Rt△BDC的中线，∴DE=BE=EC=
∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是菱形。∴AB=DE。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD。∴DE =EC= CD。∴△DEC是等边三角形。
12BC.
- 11 -
∴∠BCD=60°。
8. （2012四川资阳3分）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB＝6，AD＝4，设OM＝x，ON＝y，则y与x的函数关系式为 ▲ ．
【答案】y=
23x。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】如图，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，
∵ABCD为矩形，∴∠C=90°。
∵OF⊥BC，OE⊥CD，∴∠EOF=90°。∴∠EON+∠FON=90°。 ∵ON⊥OM，∴∠EON=∠FOM。∴△OEN∽△OFM。 ∴
OEOF?ONOM。
OEOF?ADAB?46?23∵O为矩形ABCD的中心，∴。∴
ONOM=23 ，即y=
23x。
9. （2012四川自贡4分）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= ▲ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 ▲ cm．
2
【答案】
12，
58。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，
- 12 -
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣
∠NMC=∠MNC。
∴△ABM∽△MCN，∴∴S四边形ABCN?∵?1212ABMC?BMCN，即
11?xx?2?12xCNx?，解得CN=x（1﹣x）。
11125??（x?）?。 222852
?1?[1?x（1?x）]??1212＜0，∴当x=cm时，S
四边形ABCN
最大，最大值是cm。
810. （2012四川泸州3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…
△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ▲ 。(用含n的式子表示)
14?2n?1?【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，
∴S1＝
121×B1C1×B1M1＝
?1212×1×＝
212114，S?BCM?11212?B1C1?B1M2?12?1?32?34，
S?BC1M3?B1C1?B1M3?1212?1?72?74?1?52?54，
S?BC11M4?12?B1C1?B1M4?，
12?1?2n?12?2n?14S?Bn……，S?BCM?11n?B1C1?B1Mn?。
?BM?=?nn??B1Mn?2∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴
CnMn1S?BC1，即
Mn- 13 -
?1?Sn=?22n?12n?1?4?2???。 ??14?2n?1?2∴Sn=三、解答题
。
1. （2012四川广安6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。 ∴∠D=∠EAF。
∵AF=AB，BE=AD，∴AF=CD，AD﹣AF=BE﹣AB，即DF=AE。 在△AEF和△DFC中，∵AE=DF，∠EAF=∠D，AF=DC， ∴△AEF≌△DFC（SAS），
【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定。
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD，AB∥CD，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF，然后由BE=AD，AF=AB，求得AF=CD，DF=AE，从而由SAS证得。
2. （2012四川内江9分）如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。 （1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。
- 14 -
3. （2012四川绵阳12分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。 （1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系； （3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置。
- 15 -