第1章 集 合
1.1 集合
1.1.1基本知识点：集合、元素、基数、包含、子集、集合相等、空集、全集、
幂集等。
基本理论：两个集合相等的充分必要条件是它们的元素相同；如果有限集合A
有n个元素，则幂集合2A有2n个元素。
基本计算：判断一个元素是否属于某个集合；判断两个集合是否具有包含关系；
求一个集合的幂集；
1.1.2重点与难点
(1) 集合与元素：集合是一个不能精确定义的基本概念，通常把具有某种共同性
质的事物归纳成一个整体，就形成一个集合，一般用大写字母
A,B,C等表示集合的名称。把组成集合的事物称为元素，一般
用小写字母a,b,c等表示。
(2)集合的表示方法：集合通常有两种表示方法，即列举法、描述法。 (3)包含与子集：对任意两个集合A和B，若对任意的a?A，必有a?B，则称A被B包含，或者B包含A，记作A?B。若A?B则称A是B的子集。
(4)空集、全集和幂集：不包含任何元素的集合称为空集，记作?。在一定范围
内所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记为U。
由集合A的所有子集所构成的集合称为集合A的幂集，记为2A。 典型题解
例1：下面是用列举法表示的集合：
A?{sun，earth，moon} B?{a，b，c，?，z} C?{1，2，3，4，?}
有时列出集合中所有元素是不现实或不可能的，如上面的B和C，但只要在省略号前或后列出一定数量的元素，能使人们一看就能了解那些元素属于这个集合就可以。
例2：下面是用描述法表示的集合：
A?{x|x?Nx?1且x?1000} B?{x|x?R?x2?1?0}
1
例3：集合{a,a,b,b,c}与集合{a,b,c}没有区别，集合{a,b,c}与集合{c,b,a} 没
有区别，即{a,a,b,b,c}?{a,b,c}，{a,b,c}?{c,b,a}。
例4： 试证空集是唯一的。
证明：(1)假设存在空集?1和?2，由于空集是任何集合的子集，即
?1??2和?2??1；
这样，根据集合相等的定义就有?1??2，即空集是唯一的。
例5 设A?{a,b,c}，则A的子集有：0元子集1个：空集?；一元子集3个：
{a}{，b}{，c}；二元子集三个：{a,b}{，a,c}{，b,c}；三元子集一个：{a,b,c}。 所
以A的幂集为
2A?{?,{a},{b}{，c}{，a,b}{，a,c}{，b,c},{a,b,c}}
0 一般地说，对于含有n个元素的集合A，它的0元子集有Cn个，1元子集有m1n个，…，m元子集有Cn个，…，n元子集有Cn个。这样，根据二项式公 Cn式，子集的总数，也即是幂集的元素的个数为
012nCn?Cn?Cn???Cn?2n
1.2 集合的运算和文氏图
1.2.1基本知识点：
基本概念：集合的交、并、补、差和对称差运算、文氏图。 基本理论：集合的运算及其性质；补集的唯一性定理。
基本计算：计算集合的交、并、补、差和对称差等；用集合运算的性质判断两
个集合是否相等；用文氏图表示集合。
1.2.2重点与难点：
(1)集合运算的定义：AB?{x|x?A或x?B} AB?{x|x?A且x?B}
A??{x|x?E且x?A} A?B?A?B
A?B?(A?B)?(B?A)
(2)集合运算的性质：设A,B,C是全集U的任意子集，则
交换律：
结合律：
A?B?B?A，A?B?B?A (A?B)?C?A?(B?C)
(A?B)?C?A?(B?C)
分配律： A?(B?C)?(A?B)?(A?C)2
，
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
等幂律： A?A?A，A?A?A 同一律：A???A，AU?A 零一律：AU?U，A???? 互补律：AA??U，AA???
对合律：(Ac)c?A
吸收律：A?(A?B)?A，A?(A?B)?A
德·摩根律：(AB)??A?B?，(AB)??A?B?
(3)文氏图：
U A B U A B U
A A B
A A?BU A A?BU B A?A?BU A B A'A?BA?BA?B由文氏图容易看出下列关系成立：
A?B?A，A?B?B
A?A?B，B?A?B A?B?A，A?B?B?
A?B?A?B?B?A?B?A?A?B??
典型题解
例1设A?{a,b,c}，B?{a,x,y}，全集U?{a,b,c,x,y,z}，则
AB?{a,b,c,x,y}
A?B?{a} A??{x,y,z} A－B?{b,c}
A?B?{b,c,x,y}
例2证明分配律：A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
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证明：因为
x?A?(B?C) ?x?A或x?BC
?x?A或(x?B且x?C) ?(x?A或x?B)且(x?A或x?C)
?x?AB且x?AC ?x?(A?B)?(A?C)
所以A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
例3 证明A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
证明： x?A?(B?C)
?x?A且x?BC
?x?A且x?B?且x?C?
?(x?A且x?B?)且(x?A且x?C?)
?x?(A?B)且x?(A?C)
?x?(A?B)?(A?C)
1.3 分划和细分 1.3.1基本知识点：
基本概念：分划、分划块、细分、真细分。
基本理论：集合A的分划就是将集合A中的元素划分成几块，使得A的每一个元素必须
在某一块中，也仅在一块中。 基本计算：求集合的分划。
典型题解
例1 设A?{2,3,5,8,9,16,22,25,27,35}，按照A中元素是奇数或者偶数来区分，可将A中元素分划为两块：
B1?{3,5,9,25,2 7,35} B2?{2,8,16, 22}因此{B1,B2}是集合A的一个分划。
按照A中元素能被2整除、被3整除或被5整除来区分，又可将A中元素分为三块：
A1?{2,8,16, 22} A2?{3,9,2 7}4
A3?{5,25,3 5}因此{A1,A2,A3}也是集合A的一个分划。
按照A中元素能被2整除、被3整除或被4整除来区分，可得到A的如下几个非空子集：
C1?{2,8,16, 22} C2?{3,9,2 7} C3?{8,16 }因此{C1,C2,C3}不是集合A的一个分划，原因之一是C1,C3集合中有公共元素。 由上例子可知集合的分划并不唯一。
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