?15?{(1,a)，(2,a)，(1,b)，(2,b)}
但从X到Y的不同的函数只有22?4个，分别为：
f1??6?{(1,a)，(2,b)} f3??9?{(1,a)，(2,a)}
f2??7?{(2,a)，(1,b)}
f4??10?{(1,b，)(b2, )}例2判断下列函数是否为内射、满射、双射。为什么？
(1)f：R?R，f(x)??x2?2x?1；
(2)f：Z??R，f(x)?lnx，这里Z为正整数集合； (3) f：R?R，f(x)?2x?1；
?解：(1)f：R?R，f(x)??x2?2x?1是开口向下的抛物线，不是单调函数，并
且在x?1点取得极大值0。因此它既不是内射也不是满射。
(2) f：Z??R，f(x)?lnx是单调上升的，因此是内射。但不是满射，因为
Rf?{ln1，ln2，}?R。
(3)f：R?R，f(x)?2x?1既是内射又是满射，所以是双射。
例3 设X?{1,2,3,4,5}，Y?{a,b,c,d,e}，判断下列从X到Y的二元关系是否是
从X到Y的函数，若是函数，是否是内射、满射、双射？
(1)f1?{(1,a),(2,c),(3,b),(4,e),(5,d)} (2)f2?{(1,a),(2,d),(3,e)}
(3)f3?{(1,a),(2,c),(2,d),(3,e),(4,b)} (4)f4?{(1,a),(2,a),(3,a),(4,e),(5,d)}
解：f1是一个双射函数，f2和f3不是函数，f4是函数，但既不是内射也不是
满射。
例4 判断函数f:N?N?N，f((m,n))?mn是不是内射？是不是满射？ 解：对于N?N的两个不同的元素(2,2)和(4,1),根据函数的定义显然有
f((2,2))?f((4,1))?22?4，所以不是内射；对N中任一数k,显然(k,1)属于N?N，且f((k,1))?k1?k，所以f是满射。
例5 设f:X?Y是函数，A,B分别是X,Y的子集，试证f(A?B)?f(A)?f(B) 证明：对?y?f(A?B)，存在x?A?B，使f(x)?y，不妨设x?A，则
y?f(A)?右边，说明f(A?B)?f(A)?f(B)；
对?y?f(A)?f(B)，不妨设y?f(A)，即存在x?A?A?B使f(x)?y，即
y?f(A?B)?左边，说明f(A?B)?f(A)?f(B)。综上得证。
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例6 设集合A?{a,b,c}，B?{0,1}，试问A到B上的关系有多少个？A到B上的函数有多少个？
解：因为A?B?{(a,0),)(b,0),(c,0),(a,1),(b,1),(c,1)}有6个元素，A?B有26个子集，所以A到B上的关系有26个；但是A到B上的函数只有23个。
3.2 函数的复合和逆函数
3.2.1基本知识
基本概念：函数的可逆性、函数的复合
基本理论：只有双射函数是可逆的；逆函数和复合函数的运算规律；复合函数的
性质；复合运算不满足交换律。
基本计算：判断函数的可逆性；求双射函数的逆函数；求两个已知函数的复合函
数；利用复合函数求两个集合之间的双射；利用复合函数的性质判断一个函数是否是内射、满射、双射。
3.2.2重点和难点：
逆函数 集合A到B的函数f作为一个二元关系，如果逆关系f?1是B到A的函数
则称f是可逆的，并称f?1是函数f的逆函数。
注：不是任一函数都有逆函数，只有双射函数才有逆函数。
复合函数：设f:A?B，g:B?C是两个函数，对任意a?A，定义
g，记f(a)?g(f(a))h?gf，称h:A?C是g和f的复合函数。 (2)一般fg?gf。
注：(1)复合函数gf成立的条件为Ran(f)?Dom(g)； 逆函数与复合函数的运算规律： (1) 若f:A?B是双射函数，则 (f?1)?1?f IB f f?1 ff?f IA?f f?AI f?1?BI
f?h(g f)(2) 若f:A?B，g:B?C，h:C?D都是函数，则 (hg)(i) (ii)
(3) 设f:A?B，设g:B?A都是函数则有以下运算规律
若gf?IA，则f是内射，g是满射；
若gf?IA，fg?IB，则f,g都是双射，且f?1?g，g?1?f；
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(iii)
若f,g可逆，则gf可逆，且(gf)?1?f?1g?1。
复合函数的性质
性质1：设f：X?Y，g：Y?Z，则
(1)若f和g是满射，则f?g是满射；
(2)若f和g是单射，则f?g是内射；
(3)若f和g是双射，则f?g是双射。
(1)若f?g是满射，则g是满射； (2)若f?g是单射，则f是单射；
(3)若f?g是双射，则f是单射且g是满射。
性质2 ：设f：X?Y，g：Y?Z，则
典型题解
例1 设f:X?Y，g:Y?Z，举例说明：
(1)f?g是满射，但f不是满射；(2)f?g是内射，但g不是内射。 则f?g：X?Z，f?g(x1)?f?g(x2)?z，可见f?g是满射，但f不是满射。(2)设X?{x1,x2}，Y?{y1,y2,y3},Z?{z1,z2},f(x1)?y1,f(x2)?y2， 解：(1)设X?{x1,x2},Y?{y1,y2}， g(y1)?g(y2)?z，Z?{z}，f(x1)?f(x2)?y1，
g(y2)?z2，则f?g：X?Z，f?g(x1)?z1，f?g(x2)?z2，g(y1)?g(y3)?z1，
可见f?g是内射，但g不是内射。
例2 设f：X?Y，g：Y?Z，并且f和g都是可逆的，则
(1)(f?1)?1?f；
(2) (f?g)?1?g?1?f?1。
证明：(1)由逆函数的定义即得。
(2)因为f和g都是可逆的，所以f?1：Y?X， g?1：Z?Y，从而
g?1?f?1：Z?X。又因为f?g：X?Z，且
(g?1?f?1)?(f?g)?g?1?(f?1?f)?g?g?1?IY?g?IZ (f?g)?(g?1?f?1)?f?1?(g?g?1)?f?f?1?IY?f?IX 则(f?g)?1?g?1?f?1成立。
例3 设有函数f:R?R，f(x)?x2?1，g:R?R，g(x)?x?2，试求复合函数fg和gf；并说明复合函数是否内射？满射？双射？
解：根据复合函数的定义，fg?f(g(x))?f(y)?y2?1?(x?1)2?1，
gf?g(f(x))?g(y)?y?2?(x2?1)?2?x2?1。因为fg(0)?fg(?4)，所以
fg不是内射；又因为当b??1时，不存在实数a使得fg(a)?b，所以fg也
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不是满射，因此更不是双射。
例4 设有函数g:A?B，f:B?C，试证(1)如果fg是内射，则g是内射；(2)如果fg是满射， 则f是满射。
证明：(1)用反证法，假设若g不是内射，即存在a1,a2?A，a1?a2但是
g(a1)?g(a2)，那么fg(a1)?f(g(a1))?f(g(a2))?fg(a2)，这与fg是内射相矛盾。从而说明g只能是内射。
(2) 反证法：假设f不是满射，即存在c?C，使得对任意b?B，f(b)?c。那么，对任意a?A，记b?g(a)，则b?B，fg(a)?f(g(a))?f(b)?c，这与
fg是满射相矛盾，因此f是满射。
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第7章 格和布尔代数
7.1 偏序集
7.1.1 基本知识点：
基本概念：偏序集，上界，下界，最大下界，最小上界，最小元素，最大元素； 基本理论：偏序集的定义；最大下界和最小上界的唯一性；
基本计算：求偏序中两个元素的上界、下界、最大下界、最小上界，求偏序集的
最小元素和最大元素。
7.1.2 重点与难点
偏序集中元素的运算性质：对于偏序集?L,??中所有的元素l1,l2,l3?L，有
(1) l1?l1；
(2) 若l1?l2，l2?l1，则有l1?l2； (3) 若l1?l2，l2?l3，则有l1?l3； (4) l1?l1；
(5) 若l1?l2，l2?l1，则有l1?l2； (6) 若l1?l2，l2?l3，则有l1?l3；
典型题解：
例1 设A?{1,2,3,4,6,12}，因为A中元素都是正整数，所以‘整除’关系是A上的偏序关系，记作‘?’，则因为1?2,1?3所以1是2和3的下界，也是2和3的最大下界；因为2?6,3?6,2?12,3?12，所以6和12都是2和3的上界，但是6?12，所以
1?6,?11?2,?26是2和3的最小上界；因为
6?,21,2,3?12，所以,??和6都是6和12的下
界，但是6最大，所以6是6和12的最大下界。同理，显然12是6和12的上界，也是6和12的最小上界。
例2 设有集合U?{a,b,c}，U的幂集2U上的包含关系?是一个偏序关系，其哈斯图如图(1)所示，从图(1)看出{a,b,c}是{a,b}和{b,c}的上界，也是{a,b}和{b,c}的最小上界。其中{b}是他们的最大下界。{b}和?是{a,b}和{b,c}的下界，{a,b,c}和{a,b}是{a,b}和{b}的上界，其中{a,b}是最小上界。{a}{c}{a,c}
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