(a) (b)
第9章 命题逻辑
9.1 命题和命题联结词
9.1.1 基本知识点
基本概念：命题、命题变元、命题符号化、联结词、复合命题。
基本理论：复合命题对应复合语句，用联结词连接的命题也具有真假意义。 基本计算：判断给定语句是否是命题；用各种联结词将复合命题符号化。
9.1.2 重点与难点
命题：命题表述为具有确定真假的陈述句。命题必须具备两个条件：1)语句是陈
述句；2) 语句有唯一确定的真假意义。常用大写字母P,QR,题。
原子命题：不能再分解的命题称为原子命题。 复合命题：用联结词联结而成的命题成为复合命题。
命题变元：若P表示一个确定的命题时称为命题常元，命题常元的真值是确定的
0或1，在不声明的情况下一般用P,Q,R,命题联结词：
1)否定联结词：P是一个命题，命题P的否定或非P称为P的否命题，记作?P，
称‘?’为否定联结词。?P为真当且仅当P为假。
2)合取联结词：P,Q是两个命题，命题‘P并且Q’或‘P和Q’称为P与Q的
合取式，记作P?Q。称?为合取联结词，P?Q为真当且仅当P与Q同时为真。
3)析取联结词：命题‘P或Q’称为P与Q的析取式，记作P?Q。P,Q是两个命题，
称?为析取联结词，P?Q为真当且仅当P与Q至少有一个为真。析取?表示的‘或者’是‘相容或’。‘异或’是表示P或Q中恰好有一个成立。
4)蕴含联结词：P,Q是两个命题，命题‘如果P则Q’称为P与Q的蕴含式，记
作P?Q。称?为蕴含联结词，P?Q为假当且仅当P为真，且Q为假。
5)等值联结词：P,Q是两个命题，命题‘P当且仅当Q’称为P与Q的等值式，
记作P?Q。称?为合取联结词，P?Q为真当且仅当P与Q真值相同。
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等表示命
等表示命题变元，命题变
元的真值是不确定的，即有0和1两种可能。
典型题解
例1 判断下列语句是否为命题？不是请说明理由，是则指出是原子命题还是复合命题。 1)2是有理数。 2)10能被5整除。 3)x?y?4。 4)明天下雨吗？ 5)明天天气晴朗。 6)这朵花真美啊！ 7)全体起立！
8) 地球外的星球上也有生物。 9) 2?3?4。 10) 2?3?5。
11) 如果a和b是偶数，则a?b也是偶数。 12) 正方形的面积相等当且仅当长相等。
解：4)是疑问句，6)是感叹句，7)是祈使句，所以这三个都不是陈述句，也就不是命题。3)虽然是陈述句，但是真值不唯一，因此也不是命题。其余都是陈述句，且真值都唯一，因此是命题。1)2)5)8)9)10)不能再分解，因此是原子命题，11)12)是复合命题。
例2 将下列命题符号化： 1) 2不是素数； 2) 2是素数和偶数；
3) 2虽然是素数，但是不是偶数； 4) 2不但不是素数，而且也不是偶数。
解：用命题P：2是素数，Q：2是偶数。则符号化结果： 1)?P；2)：P?Q；3)P??Q；4)?P??Q。
例3 将下列命题符号化： 1)如果天不下雨，我就去公园； 2)只有天不下雨，我才去公园； 3) 除非天下雨，否则我就去公园； 4) 如果天下雨，我就不去公园； 5) 只有天下雨，我才去公园；
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6) 天不下雨仅当我不去公园。 解：P：天下雨，Q：我去公园，则：
1) ?P?Q，2) Q??P；3)?Q?P；4)P??Q；5)Q?P；6)?P??Q。
例4 设P：小王是游泳冠军；Q：小王是百米赛冠军，将下列各公式翻译成自然语句。 1) P?Q；
解：小王是游泳冠军或者百米赛冠军。 2) P?Q；
解：小王既是游泳冠军也是百米赛冠军。 3) P??Q；
解：小王是游泳冠军不是百米赛冠军。 4) ?P?Q；
解：小王不是游泳冠军但是百米赛冠军。 5) P?Q；
解：小王是游泳冠军等同于百米赛冠军。 6) ?P?Q；
解：如果小王不是游泳冠军则一定是百米赛冠军。
9.2 命题公式
9.2.1 基本知识点
基本概念：命题公式，真值指派，真值表，重言式，矛盾式，可满足式。 基本理论：含有n个命题变元的命题公式共有2n组指派，将命题公式在所有赋值
下取值的情况列成表就构成了真值表。
基本计算：利用真值表判断命题的类型。
9.2.2 重点与难点 命题公式的递归定义： 1) 0和1是命题公式； 2) 命题变元是命题公式；
3) 如果A是命题公式，则?A是命题公式；
4) 如果A,B是命题公式，则A?B,A?B,A?B,A?B也是命题公式； 5) 只有有限次地利用上述1)2)3)4)而产生的符号串才是命题公式。 命题公式的真值指派：
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设A为一命题公式，含有命题变元P1,P2,为A关于P1,P2,
,Pn，给PP12,Pn一组确定的取值，称
,Pn的一组真值指派。
永真式：若命题公式A在它所赋值下取值均为真，则称A是永真式。 矛盾式：若命题公式A在它所赋值下取值均为假，则称A是矛盾式。
可满足式：若命题公式A在它所赋值下至少存在一组赋值是真，则称A是可满足
式。
典型题解
例1 下列各符号串中，哪些是命题公式，哪些不是？ (1) P?Q?R (2) (P?Q)? (3) ?R?(P?R) (4) P?QR (5) P?Q?R (6) (P?Q)??R (7) PQR
解：根据命题公式的递归定义，(3)(5)(6)是命题公式而其余则不是。(1)中Q和R之间不能用?做联结词；(2)中二元运算?右边无运算对象；(4)中Q和R中无联结词；(7)中三个运算对象之间无运算符。
例2 设P：2是整数；Q：西安是陕西省省会；R：18有四个素因子；S：世界上面积最大的国家是加拿大。求下列复合命题的真值： (1) (P?Q)?(?R?S) (2) (P??Q?R??S)?(Q?P) (3) ((R?S)?P)?(?P??Q)
解：先确定P,Q,R,S的真值：P,Q是真命题；18的素因子有6个，所以R是假命题，世界上面积最大的国家是俄罗斯，所以S是假命题。将P,Q,R,S的真值代入命题公式中得(1)(2)(3)(4)的真值分别是0,1,0,1。
例3 判定下列公式的类型(永真式，矛盾式，可满足式) (1) (P?Q)?(?Q??P) (2) P?(Q?R) (3) ?(P?Q)?Q
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解：分别做出这三个公式的真值表如下 (1) P Q ?P ?Q P?Q ?Q??P (P?Q)?(?Q??P) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 因此(1)式是永真式。 (2) P Q R Q?R P?(Q?R) 0 0 0 0 1 1 1 1 (3) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 因此(2)式是可满足式。
P Q P?Q ?(P?Q) ?(P?Q)?Q 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 因此(3)式是矛盾式。
9.3 命题公式的等值关系和蕴含关系
9.3.1 基本知识点
基本概念：等值公式，蕴含公式，等值关系，蕴含关系。
基本理论：设A,B是两个命题公式，若A?B为重言式，则称公式A,B是等值
的公式，记作A?B；若公式A?B是重言式，则称公式A蕴含公式B，记作A?B。
基本计算：判断给定的两个命题公式之间的等值或者蕴含关系。 9.3.2 重点和难点
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