ah?y?2S?y??2?b?z2dz
b?bhy?H?b?ytan???
aH0?b?ytan?2S?y??2?b?z2dz
b?b储油罐中油的体积等于有油部分的横截面面积对椭圆柱体长度的积分，即对y的积分，所以得油量V与油位高度H的关系。下面对不同H值的范围，求储油罐中的油量
1）当0?H??L?L0?tan?时，如图
图6
HH?b?ytan?2atan22?V?b?zdzdy ?????????2? ???L?b0b2）当?L?L?0tan??H?2b?L0tan?时，如图
图7
2aL?L0H?b?ytan?22V?b?zdzdy ?????????3? ???L?b0b3）当2b?L0tan??H?2b时，如图
6
图8
2aL?L0H?b?ytan?22H?2b??V?b?zdzdy??abL?H?2b?0? ?????4?
b?tan???btan???其中
??4.1? a?1.78?0.89m b?1.2?0.6m m L0?0.422L?0.4?2.05?2.45m
将以上各式的已知量带入数据，使用MATLAB求解，并画出图像，并与已知数据拟合曲线进行比较，结果如下
图a 图b
图c 图d
7
由图a可以看出推导出的函数与原始数据基本吻合，由于误差的存在使得油位高度越接近1.2m时曲线出现了偏离，但从图a中可知，这种误差在允许范围内。即油罐无变位时，油量和油位高度的函数可以作为实际中两者之间的关系表达式。
由图b可以看出3阶多项式拟合就可以很好地表示原数据间的关系，所以后面直接使用3阶多项式拟合，不再作可靠性证明。
由图c可以看出推出函数与实际数据之间存在偏差，但它们的走向与图形非常相似，所以在推出的函数上加入一个偏差量g(-0.5 图d中蓝色曲线从上到下的偏移量分别为0，-0.05，-0.1，-0.15，-0.2，从图中可以看出当g= -0.15时，误差就变得很小，可以忽略不记。假设用一个变量来表示罐体变位后对罐容表的影响，记为影响系数k。 设无变位和变位时油位高度H与罐体中油量v的函数关系分别为v1(H)和v2(H)， 那么 k?v1(H)?v2(H) v1(H)表1 变位后理论计算油量与实际测量油量部分数据对照表。 原始储计算值差值影响系原始储计算值差值影响系/m^3 /m^3 油量/m^3 数k 油量/m^3 数k /m^3 0.96286 1.01286 1.06286 1.11286 1.16286 1.21286 1.26286 1.31279 1.36279 1.41273 1.46273 1.51273 1.56273 1.61273 1.66273 1.71273 1.76273 1.81273 1.86273 1.91273 1.96273 0.93060 0.97970 1.04030 1.09050 1.14590 1.20360 1.25250 1.30820 1.35970 1.41150 1.46310 1.51930 1.57290 1.62550 1.67830 1.72520 1.77760 1.82910 1.88190 1.92850 1.98210 /m^3 0.03226 0.033504 0.03316 0.032739 0.02256 0.021226 0.02236 0.020092 0.01696 0.014585 0.00926 0.007635 0.01036 0.008204 0.00459 0.003496 0.00309 0.002267 0.00123 0.000871 0.00037 -0.00025 0.00657 -0.00434 0.01017 -0.00651 0.01277 -0.00792 0.01557 -0.00936 0.01247 -0.00728 0.01487 -0.00844 0.01637 -0.00903 0.01917 -0.01029 0.01577 -0.00824 0.01937 -0.00987 2.26273 2.31273 2.36273 2.41273 2.46273 2.51273 2.56273 2.61273 2.66273 2.71273 2.76273 2.81273 2.86273 2.91273 2.96273 3.01273 3.06273 3.11273 3.16273 3.21273 3.26273 2.28140 2.33190 2.38120 2.42670 2.47730 2.52790 2.57280 2.62410 2.67630 2.72590 2.77390 2.82210 2.86780 2.91780 2.96880 3.01370 3.06420 3.11230 3.15600 3.20520 3.25470 0.01867 -0.00825 0.01917 -0.00829 0.01847 -0.00782 0.01397 -0.00579 0.01457 -0.00592 0.01517 -0.00604 0.01007 -0.00393 0.01137 -0.00435 0.01357 -0.0051 0.01317 -0.00485 0.01117 -0.00404 0.00937 -0.00333 0.00507 -0.00177 0.00507 -0.00174 0.00607 -0.00205 0.00097 -0.00032 0.00147 -0.00048 0.00043 0.000138 0.00673 0.002128 0.00753 0.002344 0.00803 0.002461 8 2.01273 2.06273 2.11273 2.16273 2.21273 2.03260 2.07790 2.13170 2.18220 2.23310 0.01987 -0.00987 0.01517 -0.00735 0.01897 -0.00898 0.01947 -0.009 0.02037 -0.00921 3.31273 3.36273 3.41273 3.46273 3.51273 3.51474 3.29830 3.34190 3.39040 3.43380 3.48420 3.48780 0.01443 0.004356 0.02083 0.006194 0.02233 0.006543 0.02893 0.008355 0.02853 0.008122 0.02694 0.007665 由上表中的影响系数列可得平均影响系数k??0.00013 由以上各图像及表1可以看到，无变为时理论曲线与拟合曲线略有偏差，倾斜变位时理论积分所得曲线总是略高于拟合所得曲线，这里我们作如下解释： 因为我们忽略了注油口、出油管等处燃油所占的体积，同时也没有计入油位探测装置在储油罐中的体积，另外，我们也没有考虑其他外界因素对油量的影响，因此我们所建立的模型是在理想状态下建立的，所以才会与实际的油量有一定的偏差，因而，这个偏差时允许存在的。因此，我们建立的模型与实际相吻合，从而也验证了我们的模型是正确的。 又由图像可以看出，变位后的曲线之间的偏差明显大于无变位时曲线之间的偏差。 这可以说明变位后，油位计测出的油量与真实值有相对误差，这时所测得油量是不准确的，所以，当储油罐变位时，必须重新标定罐容表值。表2给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 表2 罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值表。 油位高罐容表油位高罐容表油位高罐容表油位高罐容表度H/m 标定值度H/m 标定值度H/m 标定值度H/m 标定值V/m^3 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.000965 0.002672 0.005495 0.009603 0.015141 0.022241 0.031022 0.041591 0.054049 0.068489 0.085 0.10355 0.12376 0.1454 0.16832 0.19242 0.21761 0.24382 0.27099 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 V/m^3 0.65588 0.69188 0.72837 0.76532 0.80272 0.84054 0.87877 0.91739 0.95638 0.99572 1.0354 1.0754 1.1157 1.1563 1.1972 1.2383 1.2797 1.3213 1.3631 0.6 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 V/m^3 1.8771 1.9206 1.9641 2.0076 2.0511 2.0947 2.1382 2.1817 2.2252 2.2686 2.3119 2.3552 2.3984 2.4415 2.4845 2.5274 2.5701 2.6127 2.6551 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 V/m^3 3.1467 3.1857 3.2244 3.2627 3.3006 3.3381 3.3751 3.4117 3.4478 3.4834 3.5184 3.553 3.5869 3.6202 3.6529 3.685 3.7163 3.747 3.7768 9 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.29906 0.32798 0.35771 0.38821 0.41944 0.45137 0.48396 0.51718 0.55101 0.58542 0.62039 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 1.4051 1.4474 1.4898 1.5323 1.575 1.6179 1.6608 1.7039 1.7471 1.7904 1.8337 0.79 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 2.6974 2.7394 2.7813 2.823 2.8644 2.9055 2.9465 2.9871 3.0275 3.0675 3.1073 1.09 1.1 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 3.8059 3.8341 3.8615 3.8879 3.9132 3.9376 3.9607 3.9826 4.0031 4.0219 4.0388 1.2 4.0536 二、问题二的模型建立与求解 （一）、实际储油罐水平放置时容油量与液面的关系（两端有球冠无变位） 由于实际储油罐的两端为球冠体所以容油量的体积公式当引入变量V头，由于水平放置时，两端的燃油的体积对称相等，所以V头1=V头2，仿照模型一，得到如下关系式： V?V身?2V头 V身?2L?2H?R?RR2?y2dy ???H?2H?H?2H????RL????1?????arcsin??1??????????5? ?2?R?R?R??R????V头??H?R?R?r2??H?R?2r?F2r2??H?R??x2dxdz ?????6? 2其中0?H?2R （二）、实际储油罐倾斜放置时容油量与液面的关系（两端有球冠有变位） 此时左右两侧球冠的燃油体积不等，即V头1与V头2将不再相等，仿造模型三，同样分三种情况考虑，得到模型如下： 1）只考虑纵向倾斜变位时，V的计算。 10