解法2：因为f?1(x)?8，所以x?f(8)?log3(8?1)?2
13．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．
【答案】72
解析：可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有A33种，第二步将甲
32乙二人插入前人形成的四个空隙中，有A24种，则甲、乙两不相邻的排法有A3A4?72种。
14．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 124 121 123 127
则该样本标准差s? （克）（用数字作答）． 【答案】2
解析：因为样本平均数x?1(125?124?121?123?127)?124，则样本方差51s2?(12?02?32?12?32)?所以4,s?2
5x2y215．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，若椭圆上存
ab在一点P使
ac，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． ?sinPF1F2sinPF2F12?1,1
【答案】
??解法1：因为在?PF1F2中，由正弦定理得
PF2PF1 ?sinPF1F2sinPF2F1则由已知，得
ac，即aPF1?cPF2 ?PFPF1211设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1?a?ex0,PF2?a?ex0 则a(a?ex0)?c(a?ex0) 记得x0?2a(c?a)a(e?1)a(e?1)???a， 由椭圆的几何性质知x0??a则e(c?a)e(e?1)e(e?1)整理得e?2e?1?0,解得e??2?1或e?2?1，又e?(0,1)，
故椭圆的离心率e?(2?1,1) 解法2 ：由解析1知PF1?cPF2由椭圆的定义知 ac2a2PF1?PF2?2a则PF2?PF2?2a即PF2?，
ac?a2a2?a?c,既c2?2c?a2?0, 由椭圆的几何性质知PF2?a?c,则c?a所以e2?2e?1?0,以下同解析1.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数f(x)?(sin?x?cos?x)?2cos（Ⅰ）求?的最小正周期．
（Ⅱ）若函数y?g(x)的图像是由y?f(x)的图像向右平移
22?x(??0)的最小正周期为
2? 3?个单位长度得到，求2y?g(x)的单调增区间．
解：（Ⅰ）f(x)?(sin?x?cos?x)2?2cos2?x
?sin2?x?cos2?x?sin2?x?1?2cos2?x
?sin2?x?cos2?x?2?2sin(2?x?)?2
42?2?3?依题意得，故?的最小正周期为. 2?32（Ⅱ）依题意得: g(x)?由2k??????5??2sin?3(x?)???2?2sin(3x?)?2
24?4?5??≤2k??(k?Z) 解得
2422?27?k??≤x≤k??(k?Z)\\ 343122?27?](k?Z) 故y?g(x)的单调增区间为: [k??,k??34312≤3x?17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
?54和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： 65（Ⅰ）至少有1株成活的概率； （Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．
解: 设Ak表示第k株甲种大树成活, k?1,2 ; 设Bl表示第l株乙种大树成活,
l?1,2
则A1,A2,B1,B2独立,且P(A1)?P(A2)?（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:
1?P(A1?A2?B1?B2)?1?P(A1)?P(A2)?P(B1)?P(B2)?1?()()?54,P(B1)?P(B2)? 65162152899 900（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:
1P?C2511411084?C2??? 665536254518．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，?BAD??2，
CD?AD?2，四边形ABFE为平行四边形，FA?平面ABCD，
FC?3,ED?7．求：
（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离； （Ⅱ）二面角F?AD?E的平面角的正切值． 解法一: （Ⅰ）
ABDC,DC?平面EFCD, ?AB到面EFCD的距离
等于点A到面EFCD的距离，过点A作AG?FD于G，因?BAD??2AB∥DC，故
CD?AD；又FA?平面ABCD，由三垂线定理可知，CD?FD，故CD?面FAD，
知CD?AG，所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离。
在Rt△ABC中，FD?由
FC2?CD2?9?4?5 FA?平面ABC，得FA?AD，从而在Rt△FAD中，
FA?FD2?AD2?5?4?1
?AG?25FA?AD225。即直线AB到平面EFCD的距离为。 ??5FD55（Ⅱ）由己知，FA?平面ABCD，得FA?AD，又由?BAD?故AD?平面ABFE
?2，知AD?AB，
?DA?AE，所以，?FAE为二面角F?AD?E的平面角，记为?.
在Rt△AED中, AE?而?AFE?ED2?AD2?7?4?3,由ABCD得,FEBA,从
?2
在Rt△AEF中, FE?AE2?AF2?3?1?2 ,故tan??FE?2 FA所以二面角F?AD?E的平面角的正切值为2. 解法二:
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,AB,AD,AF的方向为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)
设F(0,0,z0)由|FC|?3.即
,(z0?0)可得FC?(2,2,?z0)x222?22?z0?3,解得F(0,0,1) zFEGBAAB∥DC，
CDyDC?面EFCD,所以直线AB到面EFCD的
距离等于点A到面EFCD的距离。设A点在平面EFCD上的射影点为G(x1,y1,z1),则
AG?(x1,y1,z1) 因AG?DF?0且AG?CD?0,而DF?(0,?2,1)
??2y1?z1?0 解得x1?0 ① CD?(?2,0,0),此即??2x?0?1知G点在yoz面上,故G点在FD上.
GFDF,GF?(?x1,?y1,?z1?1)故有
联立①,②解得, G(0,y1??z1?1 ② 224,) 552425 ?|AG|为直线AB到面EFCD的距离. 而AG?(0,,) 所以|AG|?555（Ⅱ）因四边形ABFE为平行四边形,则可设E(x0,0,1)(x0?0),ED?(?x02,?1) .
由
|ED|?7得
2x0?22?1?7,解得x0??2.即E(?2,0,1).故
AE?(?2,0,1)
由AD?(0,2,0),AF?(0,0,1)因AD?AE?0,AD?AF?0,故?FAE为二面角
F?AD?E的平面角，又EF?(2,0,,0|EF)|?2,|AF|?1,所以
tan?FAE?
|EF|?2 |FA|19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知f(x)?x2?bx?c为偶函数，曲线y?f(x)过点(2,5)，g(x)?(x?a)f(x)． （Ⅰ）求曲线y?g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若当x??1时函数y?g(x)取得极值，确定y?g(x)的单调区间． 解: （Ⅰ）
f(x)?x2?bx?c为偶函数,故f(?x)?f(x)即有
(?x)2?b(?x)?c?x2?bx?c 解得b?0
2又曲线y?f(x)过点(2,5),得2?c?5,有c?1
g(x)?(x?a)f(x)?x3?ax2?x?a从而g'(x)?3x2?2ax?1,曲线y?g(x)'有斜率为0的切线，故有g(x)?0有实数解.即3x?2ax?1?0有实数解.此时有
2?4a2?12≥0解得
???a???,?3????3,?? 所以实数a的取值范围:a???,?3???3,??
'（Ⅱ）因x??1时函数y?g(x)取得极值,故有g(?1)?0即3?2a?1?0,解得
????a?2
'2'又g(x)?3x?4x?1?(3x?1)(x?1) 令g(x)?0,得x1??1,x2??
13当x?(??,?1)时, g(x)?0,故g(x)在(??,?1)上为增函数
'