第3讲 统计与统计案例
考情解读 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．
2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×
频率
＝频率； 组距
②各小长方形的面积之和等于1；
频率1
③小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为. 组距组距(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
数字特征 众数 样本数据 出现次数最多的数据 将数据按大小依次排列，处在最中间位把频率分布直方图划分左右两个面积中位数 置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点的横坐标 相等的分界线与x轴交点的横坐标
12222
(2)方差：s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]．
n标准差： s＝
1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋?＋?xn－x?2]. n
4．变量的相关性与最小二乘法
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，通过求Q＝? (yi
i＝1
2
^
^
^
n
－a－bxi)最小时，得到线性回归方程y＝bx＋a的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是
x1 x2 总计 2
2
y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d n n?ad－bc?2
则K(χ)＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，?，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14
(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例． 答案 (1)B (2)200
720－480840
解析 (1)由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为4220＝
240
＝12. 20
160160－150
(2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，所以＝，所以x＝200.
3 200x
思维升华 (1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．
(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，
抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，?，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( ) A．15 B．16 C．17 D．18
(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20 C．200,10 答案 (1)C (2)A
解析 (1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C.
(2)该地区中、小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.
热点二 用样本估计总体
例2 (1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，?，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
B．100,20 D．100,10
A．6 B．8 C．12 D．18
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( ) A．甲 C．甲乙相等
B．乙 D．无法确定 甲 6 3
9 2 3 6
2 3 1 1 4 7
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1 9 2 9 7 2
2 9 4 乙
3 6
6
思维启迪 (1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差． 答案 (1)C (2)A
20
解析 (1)志愿者的总人数为＝50，
?0.16＋0.24?×1所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12.
(2)x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.068 9，
x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.067 5，
1
s2＝[(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.
1212222
s＝[(0.041－0.067 5)＋(0.042－0.067 5)＋…＋(0.096－0.067 5)]≈0.000 429.
12所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．
思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等． (2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．
(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频
率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．
(2)(2014·陕西)设样本数据x1，x2，?，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，?，10)，则y1，y2，?，y10的均值和方差分别为( ) A．1＋a,4 C．1,4
答案 (1)10 (2)A
解析 (1)由频率分布直方图可知： 0.102.5
＝，所以x＝10. 0.40x
x1＋x2＋?＋x10(2)＝1，yi＝xi＋a，
10
所以y1，y2，?，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4. 故选A.
热点三 统计案例
例3 (1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据.
房屋面积x/m2 销售价格y/万元 ^^^B．1＋a,4＋a D．1,4＋a
115 24.8 ^110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22 根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b＝0.196 2，则面积为150 m2的房屋的销售价格约为________万元．
(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩 性别 男 女 总计 6 10 16 表2 14 22 36 20 32 52 不及格 及格 总计