wd=w0.*sqrt(1-a*a);x1=wd
y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t)+((x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t)) figure(1),plot(t,y,'r');hold on a=1.0;t=0:0.1:18; w0=1;wd=1;x1=wd;
y=exp(-wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t); figure(1),plot(t,y,'d');hold on
a=2.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=w0*sqrt(a*a-1);
y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cosh(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t));
figure(1),plot(t,y,'v');hold on 结论：
图2-2为Matlab计算后给出的响应曲线，从中可以得到一些重要的结论[14]： 在0???1的情况下，阶跃信号输入时，输出信号为衰减振荡，其振荡角频率（阻尼振荡角频率）为?d，幅值按指数衰减越大，阻尼越大，衰减越快。
??1时，振荡系统等同于两个一阶系统串联。此时虽然不产生振荡，但也需要经过较长时间才能达到稳态。
在一定的?之下，欠阻尼系统能够更快地达到稳态值；而过阻尼系统反应迟饨，动作缓慢，所以系统通常设计成欠阻尼系统，?取值为2
x(t)1.41.210.80.6a=1.00.4a=2.00.20a=0.5-0.2024681012141618t(s)
图2-2
算例绘制无阻尼单自由度系统的固有频率和周期随静变形的变化曲线。 固有频率?n和周期?n
?n?g?st，?n?2??stg
取g?9.81m/s2。可以利用下列MATLAB程序画出?st在0~0.5范围内?n和?n的变换曲线：
%Ex2_17.m g=9.81;
for i=1:101 t(i)=0.01+(0.5-0.01)*(i-1)/100;w(i)=(g/t(i))^0.5; tao(i)=2*pi*(t(i)/g)^0.5; end
plot(t,w);gtext('w_n'); hold on;plot(t,tao);gtext('T_n');
xlabel('delta_s_t'); title('Example2.1');
Example2.13530252015wn105Tn000.050.10.150.20.25deltast0.30.350.40.450.5
2.3单自由度系统的强迫振动
[15]
简谐激励是激励形式中最简单的一种，虽然它在实际中存在的场合比较少但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般形式激励的响应基础。图所示的弹簧质量系统中，质量块上作用有简谐激振力
P(t)?P0sin?t (2-15)
P(t) x P(t) ? m?xm
kx k c ? cx
其中P0为激振力幅，?为激振频率。以静平衡位置为坐标原点建立图示的坐标系。从图的受力分析，得到运动微分方程为：
??cx??kx?p0sin?t (2-16) m?x由常微分方程理论知道，方程(3.2)的通解x由相应的齐次方程的通解xh和非齐次方程的任意特解xp两部分组成，即
x(t)?xh(t)?xp(t) (2-17)
当欠阻尼时，式中xh(t)为有阻尼自由振动，它的特点是振动频率为阻尼固有频率，振幅按指数规律衰减，称为瞬态振动或瞬态响应；xp(t)是一种持续的等幅振动，它是由于简谐激励振力的持续作用而产生的，称之为稳态强迫振动或稳态振动，在间隔充分长时间考虑的振动就是这种稳态振动，而在刚受到外界激励时，系统的响应则是上述两种振动之和。可见，系统受简谐激励后的响应可以分为两个阶段，一开始的过程称为过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失这时进入过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失，这是进入稳态阶段。
将方程（2-15）的两端同除以质量m，并且令
c2?2??n （2-18） m其中?为相对阻尼系数，?n为相应的无阻尼系统的固有频率，则方程
（2-15）成为
???2??nx???n2x?xp0sin?t （2-19） m上述方程特解可以通过x?Bsin(?t??)或者x?Acos?t?Bsin?t来求得，这里介绍用复数方法求式（2-19）的特解。先将式（2-19）写为下列的复数形式
???2??nx???n2x?xp0i?te （2-20） m其中x是复数设复数形式的特解为
x?Bei?t （2-21）
其中B称为复振幅，其意义是包含有相位的振幅。将式（2-21）代入（2-20），解得
B?P01 （2-22） 22m?n???i2??n?记?为频率比，它定义为
??则式（2-22）可以写成
? （2-23） ?nB?式中
P0p01?k1??2?i2??k1(1??2)2?(2??)2e?i?Be?i? （2-24）
B?p0k1(1??)?(2??)222 （2-25）
??tg?12?? （2-26） 1??2将式（2-24）代入（2-21），得到复数形式的特解为
x?Bei(?t??) （2-27）
比较方程（2-17）与（2-18），可知（2-19）中的位移x是（2-20）中复数x的虚部，因此（2-25）的虚部就是方程（2-12）的特解，即有
x?Bsin(?t??) （2-28）