a213．在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2?tanAcotB
b（1）判断此三角形的形状；
（2）若a=3, b=4，求|CA?CB|的值；
（3）若C=600，ΔABC的面积为3，求AB?BC?BC?CA?CA?AB的值。
14. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知b?c?a?3bc，求： （Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）2sinBcosC?sin(B?C)的值.
15．已知函数f(x)?sin2222?x?3sin?xsin??x??（??0）的最小正周期为π
2??2π?????π?（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围
3
16．已知函数f(x)?sinxxxcos?cos2?2. 222（Ⅰ）将函数f(x)化简成Asin(?x??)?B(A?0,??0,??[0,2?))的形式，并指出f(x)的周期；
（Ⅱ）求函数f(x)在[?,
17?]上的最大值和最小值。 12
2009年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《三角函数》 大专题 (教师巧拨专版)
一、专题热点透析
三角函数是高中数学中一种重要的初等函数，是高考数学的一个必考内容，它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系，其工具性在高考中更进一步得以体现。透析近年高考试题，其趋势为：考小题多重基础，属中、低档题型．主要考察三角函数的基本概念，即：两域（定义域、值域），四性（奇偶性、单调性、周期性、对称性），简单的三角变换（求值、化简）。三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点，图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点，与平面向量结合已成为新的考查方向；考大题稳中有降，大题以解答题出现，考查思维能力的难题逐步淡化，而是以考查基础知识与基本技能为主，难度在“较易”到“中等”的程度。
二、热点题型范例
题型一、三角函数的求值、化简问题 例1．已知cos??113π，cos(???)?，且0?????． 7142（Ⅰ）求tan2?的值；（Ⅱ）求?．
解：（Ⅰ）由cos??1π12432，0???，得sin??1?cos??1?()?． 7277∴tan??sin?4372tan?2?4383???43．于是tan2??． ???22cos?711?tan?1?(43)47π?13，得0?????．又∵cos(???)?， 2214
（Ⅱ）由0?????
∴sin(???)?1?cos(???)?1?(213233． )?1414由????(???)，得cos??cos[??(???)]
π11343331?cos?cos(???)?sin?sin(???)????? ∴??．
37147142变式：
已知向量m?(sinA,cosA),n?(1,?2),且m?n?0.
(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?tanAsinx(x?R)的值域 解：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0，因为cosA≠0，所以tanA=2。
（Ⅱ）由tanA=2得f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sinx??2(sinx?)?因为x?R,所以sinx???1,1?，当sinx?21223. 231时，f(x)有最大值；
22当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是??3,?. 2??3??题型二、三角函数的图像与性质问题 例1．函数f(x)?3sin(2x?结论的编号)
?3)的图象为C, 如下结论中正确的是__①②③_. (写出所有正确
112??对称；②图象C关于点(,0)对称； 123?5??③函数f(x)在区间(?,)内是增函数；④由y?3sin2x的图象向右平移个单位可以
12123①图象C关于直线x?得到图象C。
例2. 已知函数f(x)?2sinxcos(??x)?3sin(??x)cosx?sin(?x)cosx
22?（1）求函数y?f(x)的最小正周期和最值；
（2）指出y?f(x)图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 解：（1）y?f(x)最小正周期T??，y?f(x)的最大值为
（2）y?变式：
已知函数f(x)?(3sin?x?cos?x)cos?x?3531?1?，最小值为?1? 22223??3?sin(2x?)左移单位，下移单位y?sin2x 261221（??0）的最小正周期为?． 2
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）画函数f（x）在区间［0，?］上的图象；
（3）将函数f(x)图象按向量a平移后所得的图象关于原点对称，求向量a的坐标（一个即可）． 解：（1）f(x)?sin(2?x?由??)?1 由周期为?得??1，故f(x)?sin(2x?)?1
66??2?2x??6??2得??30 ?x??6，所以函数f(x)的增区间为[k???,k??],k?Z
36?（2）如
?2x? 6 y 图象如下：
y 2 1 ?x ? 63 2? 6?22 5? 12? 1 2? 33? 20 11? 122? 1 ? 13? 63 2下表：
32 O ?6 5?12 2?3 11?12 x
（3）a?(?12,?1)
B?C?2cos2A?7. 2题型三、三角形中的三角函数问题
28sin例1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
(I)求角A的大小；(II) 若a=3，b+ c=3，求b和c的值。
解：（I）在△ABC中有B+C=π－A，由条件可得4[1－cos(B+C)] －4cos2A+2=7 ∵cos(B+C)= －cosA ∴4cos2A－4cosA+1=0 解得cosA?1?,又A?(0,?),?A?. 231b2?c2?a21?,即(b?c)2?a2?3bc （II）由cosA?知22bc2?b?c?3 又a?3,b?c?3代入得,bc?由2.??bc?2?b?1?b?2 .?或??c?2c?1???例2. 已知在?ABC中，三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C，向量m?(sinA,cosA)，
?n?(cosB,sinB)且满足m?n?sin2C。
?????（1）求角C的大小；（2）若sinA,sinC,sinB成等比数列，且CA?(AB?AC)?18，求c的值。
解：（1）∵m?(sinA,cosA)，n?(cosB,sinB)，m?n?sin2C； ∴sinAcosB?cosAsinB?sin2C；∴sin(A?B)?sin2C ∴sinC?2sinCcosC；∴cosC??????1；又C为?ABC的内角；∴C?；
322（2）∵sinA,sinC,sinB成等比数列，∴sinC?sinAsinB， 由正弦定理知：c?ab；又且CA?(AB?AC)?18，即CA?CB?18，
2∴abcosC?18；∴ab?36；∴c?ab?36；∴c?6
2?????变式：
已知A、B、C是?ABC的三个内角，a，b，c为其对应边，向量
m?(?1,3),n?(cosA,sinA),且m?n?1.
cosBb?,求?ABC的面积S. cosCc?1解：（Ⅰ）?m?n?1 ?3sinA?cosA?1 ?sin(A?)?
62?????5?0?A?? ???A????A??. ?A?.
663666cosBbcosBsinB?,?由正弦定理，得?,?cosBsinC?sinBcosC?0,故 （Ⅱ）?cosCccosCsinC??sin(B?C)?0.?B、C为?ABC的内角，?B?C.又A?,?B?C?.??ABC为正
33（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若AB?(2,1),三角形。AB?4?1?5,?S?352AB?3. 44题型四、三角函数与其他知识交汇问题
例1．已知在?ABC中，AB?BC?3，记AB,BC??． （1）若?ABC的面积S满足3?2S?3，求?的取值范围； （2）若??解：（1）
?3，求?ABC的最大边长的最小值．
AB?BC?AB?BCcos?，AB?BC?3， cos?