练习6.1 随机样本
一、填空：
1. 设X为总体，若X1,X2,,Xn满足条件 和 ,则称
X1,X2,2.
样
,Xn为从总体得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本。
本
均
值
X?__________,x?__________,样本方差
S2?____________,s2?__________.
二、在五块条件基本上相同的田地上种某种家作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求样本均值和样本方差。 三、设总体X服从均值为
1?的指数分布，X1,X2,,Xn为X的一个样本，求
E(X) ,E(S2).
四、设X1,X2,,Xn为（0—1）分布的一个样本，E(Xi)?p,D(Xi)?p(1?p),求
E(X),D(X),E(S2).
五、设总体X~b(1,p),X1,X2,,Xn为X的一个样本, p未知，求对每个
p(0?p?1),n应取多大，才能保证E(X?p)2?0.01.
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练习6.2 抽样分布
一、已知总体X~N(?,?2),其中?已知而?未知，设X1,X2,个样本，试指出下面哪些是统计量，哪些不是统计量：
2,Xn为取自总体X的一
21. X1?X2???Xn; 2. Xi?2?; 3. X12?X2;
4.
1?2??Xi?1ni?X?2; 5. X1??2; 6. max{X1,X2,?,Xn}
二、从总体N(56,6.32)随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。
?102?三、设X1,X2,?,X10为N(0,0.3)的一相样本，求P??Xi?1.44?.
?i?1?210Xi?022提示：令Yi?,则?Yi~?(10).
0.3i?1四、在总体N(80,202)中随机抽取容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？
五、求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值的绝对值大于0.3的概率。 六、查表求出下列诸值：
22?0),t0.05(9),F0.1(10,9),F0.05(10,9),F0.90(28,2),F0.999(10,10) .05(10),?0.09(15七、设X1,X2,?,X16是总体X~N(?,?)的一个样本，
2?,?2为未知，而
x?12.5,s2?5.333,求P{|X??|?0.4}.
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练习7.1—7.2 点估计和估计量的评价标准
一、设X1,X2,,Xn为N(0,?2)的一个样本，求?2的极大似然估计。
,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数为
二、设X1,X2,??x??1,0 ?(??1x?)x,?0? X pk 其中?(0???0 1 2 3 ?2 2?（1??) ?2 1?2? 1)是未知参数，利用总体X的如下样本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3，2求?的矩估计值和极大似然估计值。 五、 设X1,X2,,Xn为泊松分布?(?)的一个样本，试证样本方差S2是?的无偏估计,并 且，对于任意值?(0???1),?X?(1??)S2也是?的无偏估计。 2?1?n2提示：S?X?nX?i? n?1??i?1?2六、设X1,X2,n?1i?1,Xn总体X~N(?,?2)的一个样本，试适当选择常数C,使 C?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计。 提示：E[(Xi?1?Xi)2]?D(Xi?1?Xi)?[E(Xi?1?Xi)]2 院（系） 班 姓名 学号 练习7.3 区间估计 一、填空题 1. 设总体X~N(?,?2)，?的置信度为1??置信区间为 。 2. 设X~N(?,?2)，?与?均未知，则?与?的置信度为1??置信区间为 2 2 和 。 二、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.11 2.14 设钉子长分布为正态的，试求总体均值?的90%的置信区间： 1. 若已知??0.01厘米；2. 若?为未知。 三、随机地抽取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差?的95%的置信区间。 四、测量铅的比重16次，得x=2.705，s=0.029,试求铅的比重的95%的置信区间。设测量结果服从正态分布，并知测量无系统误差。 五、对方差?为已知的正态总体来说，问抽取容量n为多大的样本，方使总体均值?的置信度为100(1??)%的置信区间长度不大于L. 院（系） 班 姓名 学号 自测题（第七章） 2 一、填空题（每空5分共40分） 1. 设总体X的分布含有未知参数?，对于给定的数?(0???1),依样本X1,X2,,Xn确 ?(X,X,定的两个统计量?1122. 设X1,X2,?(X,X,,Xn)，?212??????)?1??, ,Xn)满足P{?12,Xn)的概 则 叫做置信度为 的置信区间。 ,Xn是来自泊松分布?(?)的样本，?为未知参数，则(X1,X2,率分布为 ；设n?10时，样本的一组观测值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4， 8），则样本均值为 ；样本方差为 。 ??e??x,x?03. 设总体X服从指数分布，f(x)??,??0为未知参数，X1,X2,? 0, x?0,Xn是来 自X的样本，则未知参数?的矩估计量是 ；极大似然估计量是 。 4. 设总体X~N(?,a2)，若?,a2均为未知参数，总体均值?的置信水平为1??的置信区间为?x????ss?,x???,则?的值为 。 nn?二、（10分）设总体X~N(?,102)分布，若使?的置信水平为1??=0.95的置信区间长度为5，试问样本容量n最小应为多少？ ?1,0 ?),并判断??是否为?的无偏估计量。 求：1. ?的矩法估计量??; 2. E(?四、（10分）设(X1,X2)总体X的样本，试证统计量：d1(X1,X2)?13X1?X2; 44d2(X1,X2)?1211X1?X2;d3(X1,X2)?X1?X2都是总体期望E(X)的无偏估计。 3322????1??, x??五、（15分）设总体X的分布函数为F(x)??,其中未知参数??1,??0,x?0, x???设X1,X2,,Xn为来自总体X的样本。 1.当??1时，求?的矩估计量； 2.当??1时，求?的极大似然估计量； 3.当??2时，求?的极大似然估计量。