江苏省常州高级中学2010届高三上学期期初质量检查 理科数学试卷 2009．10
说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分200分，考试时间120分钟． 一、填空题：（每小题5分，共70分）
ks5u1．命题
p：“?x?R，使得x2?x?1?0”，则?p： ．
1≤22?x?8}，B?{x?R||log2x|?1}，则A?(eRB)等2ks5u2．已知集合A?{x?Z|于 ．
3．已知集合A={(x，y)| ax + y = 1}，B = {(x，y)| x + ay = 1}，C={(x，y)| x2 + y2 =1}，若(A∪B)∩C有两个元素，则a所有取值的集合为 ． 4．若f(2x?1)?x2?1，则f(0)的值为 ． 5．函数f(x)?x?2 (x?[1,3])的值域为 ． xks5u6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x(1?x)．则当x?0时，
f(x)的表达式为 ．
7．定义在R上的函数f?x?满足f?x??f?x?2??13，若f?1??2，则f?99?的值
为 ．
ks5u8．设Sn为等差数列?an?的前n项和，若S5?10,S10??5，则公差为 ． 9．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，若Sn?x?3n?1，则x的值为 ． 10．设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…?32n?1an?n*，n?N．则数列?an?的通项3为 ．
ks5u11．已知函数 y?x ，给出下列四个命题： x?1(1)函数图象关于点（1，1）对称； (2)函数在定义域内单调递减；
(3)将图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数y?其中，正确命题序号是 ． 12．已知函数f(x)?是 ．
ks5u1的图象重合． x3?ax(a?1)在区间?0,1?上是减函数，则实数a的取值范围a?1 1
?(5?2a)x?1 x?113．已知函数f(x)??x (a?0,且a?1)满足对任意x1?x2，都有
a x?1?f(x1)?f(x2)?0成立，则实数a的最小值是_______________________．
x1?x214．已知函数f (x)=x2+2x+1，若存在t，当x∈[1，m]时，f (x+t)≤x恒成立，则实数m的最大
ks5u值为 ． 二、解答题：（共90分） 15．(本小题满分14分)
ks5u已知集合A??x|y?1?????2x?1???,B??x|[x?(a?1)][x?(a?4)]?0?． x?1??（1）若A?B?A，求a的取值范围； （2）若A?B??，求a的取值范围．
ks5u
16．(本小题满分14分)
已知函数f?x??x?2a(x?0,a?R)， x（1）判断函数f?x?的奇偶性，并说明理由；
（2）若f?x?在区间?2,???是增函数，求实数a的取值范围．
17．(本小题满分14分)
已知数列{an}满足a1?（1）求证：数列{a2a?11，且当n?1，n?N*时，有n?1?n?1，
an1?2an51}为等差数列； an（2）试问数列{an}中的任意两项am、ak(m,k?N*)的积am?ak是否仍是数列{an}中的项？如果是，是第几项（用m，k表示）；如果不是，请说明理由．
18．(本小题满分16分)
2
已知函数f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值． （1）求函数f(x)的解析式；
ks5u（2）若过点A(1,m)(m??2)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分16分)
ks5u已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x ＋2x． (1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x －1|；
(3)若h(x)＝g(x)－?f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数?的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在曲线y?ax3?bx上． (1) 若正方形的一个顶点为(2,1)，求a、b的值；
(2) 若a?1，求证：b??22是正方形ABCD唯一确定的充要条件．
三、附加题：（共40分）
21．(本小题满分16分)
已知集合M是满足下列性质的函数f?x?的全体：在定义域内存在x0，使得
2
f(x0?1)?f(x0)?f(1)成立．
a?M，求a的取值范围； x2?1（2）试确定函数f?x??2x?x2是否属于集合M？说明理由．
（1）设函数f?x??lg
3
22．(本小题满分24分）
???an?1?r,n?2k,k?N,定义数列?an?：a1?1，当n?2 时，an??其中，常数r?0． ???2an?1,n?2k?1,k?N.(1)当r?0时， 记Sn?a1?a2?a3???an．
①求：Sn； ②求证：数列?S2n?中任意三项均不能够成等差数列．
2k(2)求证：对一切n?N及r?0，不等式??4恒成立．
k?1a2k?1a2k?nks5u
2010届上学期期初质量检查 高三年级理科数学答案
21．“?x?R，均有x?x?1?0” 2．{0，1，2} 3．{0，1} 4．
511?? 5．?22,? 43??113 8．?1 9．?1 10．an?n
32411．(1)(3) 12．???,0???1,3? 13． 14．4
36．x(1?x) 7．
15．A???1,0?,B??a?1,a?4?………………………………………4分 （1）?4?a??2； ………………………………………………9分 （2）?5?a??1． ………………………………………………14分
22216．解：（1）当a?0时，f?x??x，f(?x)?(?x)?x，则f(?x)?f(x)，
所以f(x)为偶函数；………………………………………………3分
4
当a?0时，f(1)?1?a,f(?1)?1?a,f(?1)?f(1),f(?1)??f(1)， 所以f?x?既不是奇函数也不是偶函数．……………………………6分
（2）设x2?x1?2，f?x1??f?x2??x1?2x?x2aa2?x2??x1x2?x1?x2??a?， ?1x1x2x1x2由x2?x1?2得x1x2?x1?x2??16，x1?x2?0,x1x2?0 要使f?x?在区间?2,???是增函数只需f?x1??f?x2??0，
即x1x2?x1?x2??a?0恒成立，则a?16．……………………………………14分 另解（导数法）：f'?x??2x?a，要使f?x?在区间?2,???是增函数，只需当x?2时，x2f'?x??0恒成立，即2x?a3?0，则a?2x??16,???恒成立， 2x故当a?16时，f?x?在区间?2,???是增函数．………………………………14分 17．由
11an?12an?1?1?得，an?1?an?4an?1an，则??4， an1?2ananan?11}为等差数列． ……………………………………6分 an所以，数列{111．……………………………………8分 ??4(n?1)?4n?1, an?ana14n?1am?ak?1111???， 4m?14k?1(4m?1)(4k?1)4(4mk?m?k)?1所以am?ak是数列{an}中的第（4mk+m+k）项．…………………………………14分
218．（1）解：f?(x)?3ax?2bx?3，依题意，f?(1)?f?(?1)?0，
即 ??3a?2b?3?0， 解得a?1,b?0．
?3a?2b?3?03∴f(x)?x?3x． ………………………………………………4分
（2）f?(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)，
3∵曲线方程为y?x?3x，∴点A(1,m)不在曲线上．
23设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0?x0?3x0． 3x0?3x0?m因f?(x0)?3(x?1)，故切线的斜率为3(x?1)?，
x0?12020 5