方法技巧2 圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线的最值问题
【考情快递】 最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题． 方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解题步骤 解． 适用情况 此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用. x2y2【例1】?已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲
412线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4， 即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5， 将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5， 即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线， 即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9. 答案 9 方法2：切线法
①求与直线平行的圆锥曲线的切线； 解题步骤 ②求出两平行线的距离即为所求的最值． 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此适用情况 法. x22
【例2】?求椭圆＋y＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并
2求取得最值时椭圆上点的坐标． 解 设椭圆的切线方程为y＝x＋b，
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代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±3. 当b＝3时，直线y＝x＋3与y＝x＋23的距离d1＝＋4bx＋2b2－2＝0，
233
解得x＝－，此时y＝，
33
6?233?
即椭圆上的点?－到直线y＝x＋23的距离最小，最小值是； ，?
?233?36当b＝－3时，直线y＝x－3到直线y＝x＋23的距离d2＝，将b＝－3代
2入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 233
解得x＝，此时y＝－，
33
36?233?
即椭圆上的点??到直线y＝x＋23的距离最大，最大值是.
?3，－3?2方法3：参数法
① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； 解题步骤 ②求解关于这个参数的函数最值． 可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题. 6，将b＝3代入方程3x22
适用情况 x22
【例3】?在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y＝1上的一个动点，
3则S＝x＋y的最大值为________． x22
解析 因为椭圆＋y＝1的参数方程为
3?x＝3cos φ?(φ为参数)． ?y＝sin φ，
故可设动点P的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π.
π?π?3?1?
?，因此S＝x＋y＝3cos φ＋sin φ＝2?cos φ＋sin φ?＝2sin?φ＋所以，当φ＝时，??2?3?62S取最大值2.故填2.
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答案 2
方法4：基本不等式法
①将最值用变量表示． 解题步骤 ②利用基本不等式求得表达式的最值． 最值问题中的多数问题可用此法. 适用情况 【例4】?设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值． x22
解 依题设得椭圆的方程为＋y＝1.
4
直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)． 设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝根据点到直线的距离公式和①式， 得点E，F到AB的距离分别为 |x1＋2kx1－2|2?1＋2k＋1＋4k2?h1＝＝，
255?1＋4k?|x2＋2kx2－2|2?1＋2k－1＋4k2?
h2＝＝，
255?1＋4k?
又|AB|＝22＋1＝5，所以四边形AEBF的面积为 114?1＋2k?2?1＋2k?
S＝|AB|(h1＋h2)＝·5·＝ 22225?1＋4k?1＋4k＝2
1＋4k2＋4k
≤22，
1＋4k221＋4k
2
.①
1
当2k＝1，即k＝时，取等号．
2所以四边形AEBF面积的最大值为22. 二、圆锥曲线的范围问题
【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题．
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方法1：曲线几何性质法
解题步骤 适用情况 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解． 利用定义求解圆锥曲线的问题. x2y2【例1】?已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在
ab双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是________． 解析 根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r， 则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝
2a2a
，|PF2|＝. 33
2a
≥c－a， 3
根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即c55
即≤，即e≤.又e＞1， a33
?5??5?故双曲线的离心率e的取值范围是?1，?.故填?1，?.
?3??3??5?
?答案 ?
?1，3? 方法2：判别式法
① 联立曲线方程，消元后求判别式； 解题步骤 ②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解． 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥适用情况 曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零．此类问题可用判别式法求解. 【例2】?(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为x22
k的直线l与椭圆＋y＝1有两个不同的交点P和Q.
2(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得→→→
向量OP＋OQ与AB共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋2，
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x2
代入椭圆方程，得＋(kx＋2)2＝1，
2?12?
?x2＋22kx＋1＝0.① 整理得?＋k?2?
由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， ?12?
?＝4k2－2＞0， 得Δ＝8k2－4?＋k?2?解得k＜－22或k＞， 22
??2??2
即k的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?.
??2??2(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， →→
则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)． 42k
由方程①，知x1＋x2＝－.②
1＋2k222又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝.③
1＋2k2→＝(－2，1)．
由A(2，0)，B(0,1)，得AB
→→→
所以OP＋OQ与AB共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)， 将②③代入，解得k＝由(1)知k＜－
2. 2
22或k＞， 22
故不存在符合题意的常数k. 三、圆锥曲线的定值、定点问题
【考情快递】 此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题．
方法1：特殊到一般法
解题步骤 ① 根据特殊情况确定出定值或定点； ②对确定出来的定值或定点进行证明． - 5 -