适用情况 2
根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题. y2【例1】?已知双曲线C：x－＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，
2若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值． 证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝±2. 当x＝2时，代入双曲线方程，得y＝±2， 即A(2，2)，B(2，－2)，此时∠AOB＝90°， 同理，当x＝－2时，∠AOB＝90°.
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b， 则
|b|1＋k2
＝2，即b2＝2(1＋k2)．
由直线方程和双曲线方程消掉y， 得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0， 由直线l与双曲线交于A，B两点． 故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 2kb－?b2＋2?则x1＋x2＝，xx＝，
2－k2122－k2y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 －k2b2－2k22k2b22b2－k2b22b2－2k2
＝＋＋＝，
2－k22－k22－k22－k2－b2－22b2－2k2b2－2?1＋k2?故x1x2＋y1y2＝＋＝，
2－k22－k22－k2由于b2＝2(1＋k2)，
→·→＝0，∠AOB＝90°
故x1x2＋y1y2＝0，即OAOB. 综上可知，若l交双曲线于A，B两点， 则∠AOB的大小为定值90°. 方法2：引进参数法
① 引进参数表示变化量； 解题步骤 ②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点． - 6 -
适用情况 定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).
x2y2
【例2】?如图所示，曲线C1：＋＝1，曲线C2：y2＝4x，过曲线C1的右焦点
98F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若G为CD的中点、H为BE的中点，证明
|BE|·|GF2|
为定值．
|CD|·|HF2|
证明 由题意，知F1(－1,0)，F2(1,0)，设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
x2y2
直线y＝k(x－1)，代入＋＝1，
98
?y?
得8?＋1?2＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，
?k?16k64k2
则y1＋y2＝－，yy＝－.
8＋9k2128＋9k2同理，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0， 4
则y3＋y4＝，y3y4＝－4，
k1
|y＋y|
|BE|·|GF2||y1－y2|234
所以＝· |CD|·|HF2||y3－y4|1
|y1＋y2|2＝
?y1－y2?2?y3＋y4?2
·
?y1＋y2?2?y3－y4?2?y1＋y2?2－4y1y2?y3＋y4?2
· ?y1＋y2?2?y3＋y4?2－4y3y4
?－16k?24×64k2?4?2
??22＋2?k??8＋9k?8＋9k·＝3为定值．
?－16k?24?2?
??＋16?k??8＋9k2?2＝
＝
方法运用训练2
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1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x＝－1直线的距离之和的最小值为( )． A.2 B.3 C.5 D.6
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)， 准线是x＝－1，由抛物线的定义知：
点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离； 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小；显然，连AF交曲线于P点．
故最小值为22＋1，即为5. 答案 C
?b?
?2有四个交点，其中c为椭圆2．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝?＋c?2?的半焦距，则椭圆离心率e的范围为( )． A.C.
53＜e＜ 5523＜e＜ 55
B．0＜e＜D.
2 5
35＜e＜ 55
解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内即： ?b?22
?a＞??2＋c???
??b?
22
??b＜＋c???2?
??
b
a＞??2＋cbb＜??2＋c
??a－c?2＞1?a2－c2?
?
4??
??a2－c2＜2c
53
?＜e＜. 55答案 A
x2y23．(2011·长郡中学1次月考)设F是椭圆＋＝1的右焦点，且椭圆上至少有21
76个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，
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则d的取值范围为________．
解析 若公差d＞0，则|FP1|最小，|FP1|＝7－1； 数列中的最大项为7＋1，并设为第n项， 21
则7＋1＝7－1＋(n－1)d?n＝＋1≥21?d≤，
d10注意到d＞0，得0＜d≤
11
；若d＜0，易得－≤d＜0. 1010
1??1??
那么，d的取值范围为?－，0?∪?0，?.
?10??10?1??1??
?∪?0，? 答案 ?－，0
?10??10?
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则解析 设直线PA的斜率为kPA，PB的斜率为kPB， y1－y02p2
由y2＝2px，y＝2px，得k＝＝， 1100PA
x1－x0y1＋y02p
同理kPB＝，
y2＋y0
由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， 2p2p因此＝－，即y1＋y2＝－2y0(y0＞0)，
y1＋y0y2＋y0y1＋y2那么＝－2.
y0答案 －2
5．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程． 解 求直线方程，由于F(－c,0)为已知，仅需求斜率k， y1＋y2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则y0＝，
21c
由于S△PFO＝|OF|·|y0|＝|y0|只需保证|y0|最大即可，
22?y＝k?x＋c?
由?222222?(b2＋a2k2)y2－2b2cky－b4k2＝0， ?bx＋ay＝ab
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y1＋y2
的值为________． y0
b2cbc?y1＋y2??b2ck?
|y0|＝??＝??＝≤
?2??b2＋a2k2?b222a
＋a|k||k|bc2b2b
得：S△PFO≤，此时＝a2|k|?k＝±，
4a|k|ab
故直线方程为：y＝±(x＋c)．
a
6．(长沙雅礼中学最新月考)已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在轴上所截得的弦． (1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．
解 (1)设O′(x0，y0)，则x20＝2py0(y0≥0)，
2则⊙O′的半径|O′A|＝x20＋?y0－p?， 2⊙O′的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x20＋(y0－p)， 22令y＝0，并把x0＝2py0，代入得x2－2x0x＋x20－p＝0，
解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p， 这说明|MN|是不变化，其为定值2p. (2)不妨设M(x0－p,0)，N(x0＋p,0)．
由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|， 所以－p≤x0≤p.
2
ppx0＋p2
O′到抛物线准线y＝－的距离d＝y0＋＝，
222p2
⊙O′的半径|O′A|＝x20＋?y0－p?＝
x0??22
?x0＋?－p?
? 2p
2＝
14
x0＋4p4. 2p
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224232＋p因为r＞d?x0＋4p4＞(x2)?x00＜p，
2232
又x2≤p＜p(p＞0)，所以r＞d， 0
2
即⊙O′与抛物线的准线总相交．
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