19.(本小题满分14分)
设椭圆??2+3=1(a> 3)的右焦点为F,右顶点为A.已知|????|+|????|=|????|,其中O为原点,e为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
20.(本小题满分14分)
设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0; (Ⅲ)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.
···
??2??2
113??
14
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
一、选择题
1.A 由题意可得B={1,3,5},∴A∩B={1,3},故选A.
易错警示 不能列举出集合B中的所有元素是造成失分的主要原因. 2.A 设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=,故选A.
236115
3.B 由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.
该几何体的侧视图为选项B.故选B.
=2,????2
4.A 由题意可得 ??2+??2=5,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为4-y2=1,故选A.
??>0,??>0,易错警示 容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的主要原因. 5.C 令x=1,y=-2,满足x>y,但不满足x>|y|;又x>|y|≥y,∴x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.
6.C ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(- 2)=f( 2),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f( 2).故有2|a-1|< 2,即|a-1|<2,解得2
思路分析 由已知可得出f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(- 2)=f( 2),利用单调性将f(2|a-1|)>f( 2)转化为2|a-1|< 2,解该不等式即可. 7.B 建立如图所示的平面直角坐标系.
1
1
3
??
1
11 3 =(1,0). 则B -2,0 ,C 2,0 ,A 0,2 ,所以????
易知DE=2AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF=4AC=4, 所以点F的坐标为 8,-8 , = 1,-5 3 , 所以????88
·???? = 1,-5 3 ·(1,0)=1.故选B. 所以????888
疑难突破 利用公式a·b=|a||b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键. 8.D f(x)=
21-cos????12
1
111
3+2sin ωx-2=2(sin ωx-cos
π
π
π
11
ωx)=2sin ????-4 ,∵x∈(π,2π),ω>0,∴ωx-4∈ ??π-4,2ωπ-4 ,∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,∴有以下两种情况:
① ??π-,2ωπ- ?(2kπ,2kπ+π),k∈Z,
44则有
??π-4≥2kπ,
πππ
π
π
k∈Z, 2??π-4≤2kπ+π,
14
58
得ω∈ 2??+,k+ ,k∈Z, 当k=0时,ω∈ 4,8 ;
② ??π-4,2ωπ-4 ?(2kπ+π,2kπ+2π),k∈Z, 则有
??π-≥2kπ+π,
4πππ
π15
∈Z, k
2??π-4≤2kπ+2π,
5
9
31
1
得ω∈ 2??+4,k+8 ,k∈Z,当k=-1时,ω∈ -4,8 ,又ω>0,∴ω∈ 0,8 . 综上,ω∈ 0,8 ∪ 4,8 ,故选D.
1
15
疑难突破 将函数化简为f(x)=2sin ????-4 ,将ωx-4看作一个整体,借助函数y=sin x的图象得出f(x)在(π,2π)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解. 二、填空题 9.答案 1
解析 ∵z==1-i,∴z的实部为1.
1+i2
2ππ10.答案 3
解析 ∵f '(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f '(0)=3. 11.答案 4
解析 由程序框图可知, S=8,n=2; S=2,n=3;
S=4,n=4,此时退出循环,输出S=4. 易错警示 审题不清是失分的主要原因. 12.答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
,解得 ??=2,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9. 5由题意可得 5??2=9,222
(-??)+( 5)=??,
方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解. 13.答案
2 33|2??|=
4 5
解析 连结AC,BC.由同弧所对的圆周角相等知∠DBA=∠ACE,又易知∠DBA=∠DEB=∠AEC,故而有∠AEC=∠ACE,所以AC=AE.∵BE=2AE=2,∴AC=AE=1,AB=3.易知△ACB为直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AB=3,
则cos A=3.在△ACE中,由余弦定理易得CE= 12+12-2×1×1×3=14.答案 ,
33
-2≥0,13解析 ∵函数f(x)在R上单调递减,∴ 0
34
3??≥1,y=|f(x)|与y=2-3的图象,如图所示.
??
4??-3
121
12 33
.
方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-的图象恰有两个交点,
3
3
??
??
则需满足3a<2,得a<3,综上可知,3≤a<3. -≥0,2易错警示 (1)f(x)在R上单调递减,需满足 0
15.解析 (Ⅰ)在△ABC中,由
??
4??-3212
sin??sin??
=
??
,可得asin B=bsin A,又由asin 2B= 3bsin A,得2asin
3
π
Bcos B= 3bsin A= 3asin B,所以cos B=2,得B=6. (Ⅱ)由cos A=,可得sin A=
31
2 23
,
π
则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin ??+6 =2sin A+2cos A= 31
2 6+16
.