思路分析 (Ⅰ)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为角B的三角函数式进行求解;(Ⅱ)利用三角形的性质及两角和的正弦公式求sin C的值. 16.解析 (Ⅰ)由已知,x,y满足的数学关系式为
4??+5??≤200, 8??+5??≤360,
3??+10??≤300,
??≥0,
??≥0.
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
图1
(Ⅱ)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-3x+3,这是斜率为-3,随z变化的一族平行直线.3为直线在y轴上的截距,当3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距3最大,即z最大.
??
??
2
??
2
??
图2
4??+5??=200,解方程组 得点M的坐标为(20,24).
3??+10??=300,
所以zmax=2×20+3×24=112.
答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元. 疑难突破 解决有关线性规划实际问题的关键是找出两变量之间所满足的关系式,利用图解法进行解答. 17.解析 (Ⅰ)证明:取BD中点O,连结OE,OG.在△BCD中,因为G是BC中点,所以OG∥DC且OG=2DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.
又FG?平面BED,OE?平面BED, 所以,FG∥平面BED.
1
(Ⅱ)证明:在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD= 3,进而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD?平面BED, 所以,平面BED⊥平面AED.
(Ⅲ)因为EF∥AB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角. 过点A作AH⊥DE于点H,连结BH. 又平面BED∩平面AED=ED, 由(Ⅱ)知AH⊥平面BED.
所以,直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.
在△ADE中,AD=1,DE=3,AE= 6,由余弦定理得cos∠ADE=,所以sin∠ADE=,因
3
3
2 5此,AH=AD·sin∠ADE=.
3
5在Rt△AHB中,sin∠ABH=????=6. 所以,直线EF与平面BED所成角的正弦值为. 6
???? 5 5方法总结 证明线面平行常用线线平行或面面平行进行转化;在证明面面垂直时注意线、面垂直之间的相互转化;解决线面角的关键是找出斜线在平面内的射影,常用定义法求解. 18.解析 (Ⅰ)设数列{an}的公比为q.由已知,有-=又由S6=a1·
1-??61-??
1
1
2
??1??1q??1??2
,解得q=2,或q=-1.
=63,知q≠-1,所以a1·
12
1-261-212
=63,得a1=1.所以an=2n-1.
12
(Ⅱ)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-, 即{bn}是首项为,公差为1的等差数列.
21
2
设数列{(-1)n????}的前n项和为Tn,则 222222T2n=(-??1+??2)+(-??3+??4)+…+(-??2+??2??) ??-1
=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=
2??(??1+??2??)
2
=2n2.
思路分析 (Ⅰ)利用“基本量”思想,建立关于a1,q的方程求解;(Ⅱ)利用分组求和法. 19.解析 (Ⅰ)设F(c,0),由|????|+|????|=|????|,即??+??=??(??-??),可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,椭圆的方程为4+3=1. (Ⅱ)设直线l的斜率为k(k≠0), 则直线l的方程为y=k(x-2).
=1,设B(xB,yB),由方程组 43消去y,
??=??(??-2)整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
??2??2??2
1
1
3??
11
3??
+
??2
解得x=2,或x=
8??2-6
2
4??+3
,由题意得xB=
8??2-6
2
4??+3
,从而yB=
-12??
4??2+3
2
.
??12??
=(-1,yH),???? = 9-4由(Ⅰ)知,F(1,0),设H(0,yH),有????, . 2
4??+34??2+3
·???? =0,所以由BF⊥HF,得????
1
4??2-9
4??2+34??2+3
9-4??2
+
12??????
=0,解得yH=
9-4??212??
. 因此直线MH的方程为y=-??x+12??. 设M(xM,yM),由方程组
20??2+9
??=??(??-2),??=-x+
??1
9-4??212??
消去y,
解得xM=在△MAO
64
12(??2+1)
. xM=1,即
20??2+9
222中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+????=????+????,化简得
64
12(??2+1)
=1,解
得k=-,或k=. 所以,直线l的斜率为-或.
4
4
6 620.解析 (Ⅰ)由f(x)=x3-ax-b,可得f '(x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论:
(1)当a≤0时,有f '(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). (2)当a>0时,令f '(x)=0,解得x=
3??3
,或x=-
3??3
.
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
x -∞,- 3a3 - 3a30 - 3a 3a, 33- 3a 30 3a ,+∞ 3+f '(x)f(x)+ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增
所以f(x)的单调递减区间为 - 3?? 3??3
,
3
,单调递增区间为 -∞,-
3??3
,
3??3
,+∞ .
??3
22
(Ⅱ)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(Ⅰ)知a>0,且x0≠0.由题意,得f '(x0)=3??0-a=0,即??0=,进而3f(x0)=??0-ax0-b=-3x0-b.
2??
3
又f(-2x0)=-8??0+2ax0-b=-3x0+2ax0-b=-3x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数x1
8??2??
满足 f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0. 所以x1+2x0=0.
(Ⅲ)证明:设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论: (1)当a≥3时,- 3??3
≤-1<1≤
3??3
,由(Ⅰ)知, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取
值范围为[f(1), f(-1)],
??-1+??,??≥0,因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=
??-1-??,??<0.所以M=a-1+|b|≥2. (2)当4≤a<3时,- - 3??33
2 3??3
≤-1<-
3?? 3??3
<
3
<1≤
2 3??3
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)≥f -
2 3??3
=f
3??3
, f(1)≤f
2 3??3
=f
,
3??3
所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为 ?? 因此M=max ?? =max -2??9
, f -
3??3
,
3??
3
, ?? -
3??
3
3??-b , 9 3??-b
2??
2??
=max 9 3??+b , 9 3??-b =9 3??+|b|≥9×4× 3×4=4. (3)当0
2 3??2 3??3
2??
23
31
2??
<3
<1,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1) 2 3??3 =f 3??3 , f(1)>f 2 3??3 =f - 3??3 , 所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1), f(1)], 因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|} =max{|1-a+b|,|1-a-b|} =1-a+|b|>4. 综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于4. 1 1 思路分析 (Ⅰ)求含参数的函数f(x)的单调区间,需要进行分类讨论;(Ⅱ)由第(Ⅰ)问可知a>0,要证x1+2x0=0,只需证出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得结论;(Ⅲ)求g(x)在[-1,1]上的最大值,对a分情况讨论即可.