考点25 数列求和及综合应用
一、选择题
1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，cn＋an
△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2，bn＋an
cn＋1＝2，则（ ）
A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列
C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【解析】选B.因为an?1?an，bn?1?bn?1?cn?1?cn?anb?a，cn?1?nn，所以an?a1，22cn?anbn?an11?(bn?cn)?an?(bn?cn)?a1 ?22221(bn?cn?2a1)，注意到b1?c1?2a1，所以bn?cn?2a1. 2bn?1?cn?1?2a1?于是?AnBnCn中，边长BnCn?a1为定值，另两边的长度之和为bn?cn?2a1为定值. 因为bn?1?cn?1?cn?anbn?an1??(bn?cn)， ?22212所以bn?cn?(?)n?1(b1?c1)，当n???时，有bn?cn?0，即bn?cn，于是?AnBnCn的边BnCn的高hn随n增大而增大，于是其面积Sn?|BnCn|hn?a1hn为递增数列. 二、填空题
2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列{an}的前n项和Sn?an?，则{an}的通项公式是an?_________ 【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.
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12122313【解析】由S1?a1??a1，解得a1?1，又Sn?an?，所以
Sn?Sn?1?22aan?an?1?an，得n??2 ，所以数列{an}是首项为1，公比为?2的等33an?123132313比数列.故数列的通项公式an?(?2)n?1 【答案】(?2)n?1
3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15） 设Sn为数列?an?的前n项和，Sn?(?1)nan?（1）a3?_____；
（2）S1?S2?????S100?___________.
【解题指南】（1） 令n?3，n?4代入 即可得到答案. （2）通过an?sn?sn?1?(?1)nan?an?an?1?11n?1?(?1)a?整理可发现当当n为偶数时有n?12n?1221,n?N?,则 n21，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 2n?1111【解析】（1）因为a1?s1??a1?，所以a1??，s3?a1?a2?a3??a3? ①，
428111s4?a1?a2?a3?a4?a4?，即a1?a2?a3?? ②， 把②代入①得a3??.
16161611（2）因为当n?2时，an?sn?sn?1?(?1)nan?n?(?1)n?1an?1?n?1，整理得
2211(1?(?1)n)an?(?1)n?1an?1?n，所以，当n为偶数时，an?1??n，
2211当n为奇数时，2an?an?1?n，所以an?1?n?1，
22所以an???,n为奇数2n?11，n为偶数2n1，所以当n为偶数时，an?an?1?121， n?12所以s1?s2?s3?s4???s99?s100??a1??a2??a99?11?a??? 3222311?a??(a2?a1)?(a4?a3)???(a100?a99)? 100991002211111111111(?2?3??100)?(?3?5??99)?(?2??100) 22222222222- 2 -
1111(1?50)(1?100)211114?22?2?(1?100)?(1?100)?(100?1).
11322321?1?42111【答案】（1）? （2）(100?1)
16324. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知?an?是等差数列，a1?1，公差d?0，Sn为其前n项和，若a1、a2、a5成等比数列，则S8? 【解题指南】先根据a1、a2、a5成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出S8. 【解析】因为a1、a2、a5成等1比数列, a1?1所以(1?d)2?1?4d,化简得d2?2d 因为d?0,所以d?2,故S8?8a1?【答案】64 三、解答题
x?1??x?. 5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数f?x?=ln?1?x??1?x8?7d?8?56?64. 2（I）若x?0时,f?x??0,求?的最小值;；
（II）设数列?an?的通项an?1???????,证明：a2n?an?(1?2?)x??x2【解析】（I）f?(x)?， 2(1?x)1?2?(1?2?)x??x2x?0x?令f?(x)?0，即，解得或 ?0?(1?x)21
21
若??，则x?0时，f￠(x)<0，f(0)=0，所以f(x)?0.
2
1综上?的最小值为.
21
（II）令??，由（I）知，x?0时，f(x)?0.
2
x(2?x)?ln(1?x). 即
2?2x12131n1?ln2. 4n若??，则0?x?2(1?2?)时， f?(x)?0，所以f(x)?0.
取x?，则
1k2k?1k?1?ln.
2k(k?1)k- 3 -
2n?12n?112n?1112k?1k?1?ln2n?lnn?ln2. 于是a2n?an???(?)??()??ln4nk?n2k2(k?1)kk?n2k(k?1)k?n所以a2n?an?1?ln2 4n6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an.
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.
(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.
【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,
d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6. (2)设数列{an}前n项和为Sn, 因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则 n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+
1221n; 2n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-1221n +110. 21221??n?n,n≤11,??22综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|=?
121?n2?n?110,n≥12.??227. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列?an?满足：a1?1，an?1?3an，n?N?． （Ⅰ）求?an?的通项公式及前n项和Sn；
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（Ⅱ）已知?bn?是等差数列，Tn为前n项和，且b1?a2，b3?a1?a2?a3，求T20． 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前n项和,再利用题目中所给条件求解T20.
【解析】（Ⅰ）由题设知?an?是首项为1,公比为3的等比数列,所以an?3n?1,
1?3n1nSn??3?1.
1?32??（Ⅱ）b1?a2?3,b3?1?3?9?13,b3?b1?10?2d,所以公差d?5， 故T20?20?3?20?19?5?1010. 28.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f(an),n∈N*. (1)若a1=-c-2,求a2及a3. (2)求证:对任意n∈N*,an+1-an≥c.
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.
【解析】(1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)=
当an≥-c时,an+1-an=c+8>c.
当-c-4≤an<-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c; 所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c.
(3)由(2),结合c>0,得an+1>an,即{an}为无穷递增数列, 又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c,
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