2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科） 2012.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V?2 方差s?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 32221?x?x???xnx1?x?x2?x?????xn?x?，其中x?12.
???n?n??????一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的． 1．已知复数a?bi?i?1?i?（其中a,b?R，i是虚数单位），则a?b的值为
A．?2 B．?1 C．0 2．已知全集U?R，函数y? D．2
1的定义域为集合A，函数y?log2?x?2?的定义域为集合B，则集合x?1?eA??B?
UA．??2,?1? B．??2,?1? C．???,?2? D．??1,??? 3．如果函数f?x??sin??x??????的相邻两个零点之间的距离为，则?的值为 ??0???126? D．24
2A．3 B．6 C．12
2224．已知点P?a，b?（ab?0）是圆O：x?y?r内一点，直线l的方程为ax?by?r?0，那么直线l与圆O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交
D．不确定
5．已知函数f?x??2x?1，对于任意正数a，x1?x2?a是f?x1??f?x2??a成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知两个非零向量a与b，定义a?b?absin?，其中?为a与b的夹角．若a=??3,4?， b=?0,2?，
·1·
则a?b的值为
A．?8 B．?6 C．8
D．6
?7．在△ABC中，?ABC?60，AB?2，BC?6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概
率为 A．
1112 B． C． D． 63238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标?x,y,z?，
若x?y?z是3的倍数，则满足条件的点的个数为
A．252 B．216 C．72 D．42
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 2 2 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．
2 210．已知2≤?kx?1?dx≤4，则实数k的取值范围为 ． 正(主)视图
2 2 2 ?1侧(左)视图
11．已知幂函数y?m?5m?7x则实数m的值为 ．
?2?m2?6在区间?0,???上单调递增，
2 12．已知集合A?x1≤x≤2，B?xx?a≤1，若AIB?A，
????2 图1 俯视图 则实数a的取值范围为 ．
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子
来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称
为五角形数，其中第1个五角形数记作a1?1，第2个五角形数记作a2?5，第3个五角形数记作a3?12，第4个五角形数记作a4?22，……，若按此规律继续下去，则a5? ，若an?145，则n? ．
B 22 C 1 5 12
图2
A （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，
P O D CP1?，则CD的长为 cm． CD315．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的
OP?3cm，弦CD过点P，且
参数方程分别为l：?图3
?x?t?2,?x?1?s,（s为参数）和C：?（t为参数），若l与C相交于A、B两点，2?y?t?y?1?s·2·
则AB? ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?tan?3x?????（1）求?．4????f??的值； ?9?（2）设????,??3???，若2????????f????2，求cos????的值．
4??34??
17．（本小题满分12分）
如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中
甲组 乙组 的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．
9 7 8 7 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求a的值； 6 6 9 a 3 5 （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
图4 （3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学
成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．
（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?6，平面PAC?平面ABC，PD?AC于点D，
AD?1，CD?3，PD?3．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）
PA
DB图5
C等比数列?an?的各项均为正数，2a4,a3,4a5成等差数列，且a3?2a22． （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?2n?5a，求数列?bn?的前n项和Sn．
?2n?1??2n?3?n 20．（本小题满分14分）
·3·
y2?1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的已知椭圆x?42双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T． （1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1?x2?1；
uuruur（3）设?TAB与?POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且PAgPB≤15，求S12?S22的
取值范围．
21．（本小题满分14分）
x2x3xn??L?（n?N*）设函数f(x)?e(e为自然对数的底数)，gn(x)?1?x?． 2!3!n!x（1）证明：f(x)≥g1(x)；
（2）当x?0时，比较f(x)与gn(x)的大小，并说明理由；
?2??2??2??2?*（3）证明：1??????????L??． ?≤gn?1??e（n?N）
?2??3??4??n?1?
123n
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2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15
题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．
9．43?2?
10．?,2? 11．3 12．?1,2? 13．35，10 14．62 15．2 3?3?
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：f?
?????9?
??tan?tan????34……3分?3?1??2?3．…4分 ?tan???………1分 ???1?3?34?1?tantan343???????????tan?????……5分?tan?????…6分?tan??2．…7分
44??34??（2）解：因为f?所以
sin??2，即sin??2cos?． ① cos?22因为sin??cos??1， ② 由①、②解得cos??21525?3??．…9分因为????,，所以，．……10分 cos???sin????555?2?所以cos???????52?25?2310???cos?cos?sin?sin????????……11分． 12分 ?????4452?5?2104?17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）
·5·