（1）解：依题意，得
11?(87?89?96?96)??(87?90?a?93?95)，……1分,解得a?3.…2分 44（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x?92.……………………………3分
所以乙组四名同学数学成绩的方差为s?21?222287?92???93?92???93?92???95?92???9. ??4?……………………………5分
（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结果．……………6分
这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表： X 乙 甲 87 0 6 6 8 89 2 4 4 6 96 9 3 3 1 96 9 3 3 1 87 93 93 95 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分
1214，P(X?1)?，P(X?2)?，P(X?3)?， 161616162312P(X?4)?，P(X?6)?，P(X?8)?，P(X?9)?.
16161616所以随机变量X的分布列为：
由表可得P(X?0)?X P 随机变量X的数学期望为
0 1 2 3 4 6 8 9 ……………………10分
12142312 1616161616161616EX?0?12142312?1??2??3??4??6??8??9?…………………………11分 16161616161616166817??.…………………………………………………………………………………………12分 16418．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明1：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面PAC，PD?AC，
所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分
记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB?BC，所以BE?AC．
22因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE???62?22?2．………………3分 P因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形． 因为PD?3，CD?3， 所以PC?PD?CD?22?3?2?32?23．………4分
A
·6·
连接BD，在Rt△BDE中，因为BE?2，DE?1，
EDB
C所以BD?BE?DE?22?2?2?12?3．…………5分
BD?平面ABC，因为PD?平面ABC，所以PD?BD．在Rt△PBD中，因为PD?3， BD?3，
所以PB?PD?BD?22?3???3?22?6．………6分
在?PBC中，因为BC?6，PB?6，PC?23，所以BC2?PB2?PC2．
所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分
证明2：因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC， PD?平面PAC，PD?AC， 所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，所以BE?AC． 因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE?22?6?2?22?2．………………3分
o连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90，BE?2，DE?1，
所以BD?BE2?DE2???22?12?3．…4分在△BCD中，因为CD?3， BC?6，BD?3，
222所以BC?BD?CD，所以BC?BD．…5分因为PD?平面ABC，BC?平面ABC，
所以BC?PD．……6分因为BD?PD?D，所以BC?平面PBD．
因为PB?平面PBD，所以BC?PB．所以?PBC为直角三角形．…………7分
（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则?APH为直线AP与平面PBC所成的角．…8分 由（1）知，△ABC的面积S?ABC?因为PD?3，所以VP?ABC?1?AC?BE?22．……9分 21126?S?ABC?PD??22?3?．……10分 333由（1）知?PBC为直角三角形，BC?6，PB?所以△PBC的面积S?PBC?6，
11?BC?PB??6?6?3．………11分 22因为三棱锥A?PBC与三棱锥P?ABC的体积相等，即VA?PBC?VP?ABC， 即?3?AH?132626，所以AH?．…12分在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1， 33262AH63?12?2．…13分因为sin?APH??3?．
AP23所以AP?PD2?AD2???所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6．…………………………………………………14分 3解法2：过点D作DM∥AP，设DM?PC?M，
则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分
·7·
由（1）知BC?PD，BC?PB，且PD?PB?P，
P所以BC?平面PBD．因为BC?平面PBC，
所以平面PBC?平面PBD．过点D作DN?PB于点N，连接MN， 则DN?平面PBC．
所以?DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分
在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1， 所以AP?M
A
DN BCPD?AD?22?3?2?1?2．………11分
2 DMCDDM33??，所以DM?．………………12分 因为DM∥AP，所以，即APCA242由（1）知BD?3，PB?6，且PD?3，所以DN?PD?BD3?36．……13分 ??PB2666DN6因为sin?DMN?，所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．……14分 ?2?33DE32解法3：延长CB至点G，使得BG?BC，连接AG、PG，………8分
Po在△PCG中，PB?BG?BC?6，所以?CPG?90，即CP?PG．
222在△PAC中，因为PC?23，PA?2，AC?4，所以PA?PC?AC，
K 所以CP?PA．因为PAIPG?P，所以CP?平面PAG．…9分
过点A作AK?PG于点K，因为AK?平面PAG，
所以CP?AK．因为PGICP?P，所以AK?平面PCG． 所以?APK为直线AP与平面PBC所成的角．……11分 由（1）知，BC?PB，所以PG?PC?23． 在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点， 所以AG?2BE?22．…………12分
A
EDB
CG
222在△PAG中，PA?2，AG?22，PG?23，所以PA?AG?PG，即PA?AG．…13分
因为sin?APK?6AG226．所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…14分 ??3PG233解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系
E?xyz，………8分
则A?0,?2,0?，B????AP?0,1,于是
??2,0,0?，C?0,2,0?，P?0,?1,3?．
????????3?，PB??2,1,?3?，PC??0,3,?3?． ·8·
Pz 设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，
A
EDCy x
B ??????n?PB?0,??2x?y?3z?0,则????即? ???n?PC?0.??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2,1,3．………12分
????AP?n????46设直线AP与平面PBC所成的角为?，则sin??cos?AP,n?????． ???3AP?n2?6所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为
2．所以平面PBC的一个法向量为n???6．……………14分 3
若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：
（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系
E?xyz，……1分 则B???2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．
???????????于是BP??2,?1,3，BC??2,2,0．
????Pz ????????因为BP?BC??2,?1,3??2,2,0?0，
??????????所以BP?BC．所以BP?BC．
所以?PBC为直角三角形．…………7分 （2）由（1）可得，A?0,?2,0?．
AEDCy
x
B????????于是AP?0,1,3，PB????????2,1,?3，PC?0,3,?3．设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，
?????????n?PB?0,??2x?y?3z?0,则????即?取y?1，则z?3，x?2． ???n?PC?0.??3y?3z?0.所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．……………12分
?????AP?n????46设直线AP与平面PBC所成的角为?，则sin??cos?AP,n?????． ???3AP?n2?6所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6．…………14分 3 19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
（1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有
·9·
2a4?4a5?234?a?,??a3?a4?2a5,?a1q?a1q?2a1q,?3即?…………2分所以?2…………3分 2?222a?2a.??2?3?a1q?2a1q.?a?2a2.2?31?1a?,?1?a?,??2由于a1?0，q?0，解之得?或?12……………5分
?q?1.??q??1.??211?1?*又a1?0,q?0，所以a1?,q?，…6分所以数列?an?的通项公式为an???（n?N）．…7分
22?2?（2）解：由（1），得bn?n2n?52n?51?an??n．……8分
?2n?1??2n?3??2n?1??2n?3?2所以bn??111?1?2??．……10分 ???nn?1n(2n?1)2(2n?3)22n?12n?32??所以Sn?b1?b2?L?bn
??1?11?11??1?????L??? ???2?n?1n?35?25?27?22n?122n?32??????????1111．故数列的前项和．………14分 ??S??bn??nn3?2n?3?2n3?2n?3?2n20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
y2（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．………1分设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，
b2y21?b22?1．…3分 因为双曲线的离心率为5，所以?5，即b?2．所以双曲线C的方程为x?41（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），
则直线AP的方程为y?k(x?1)，………4分
?y?k?x?1?,?222224?kx?2kx?k?4?0， 联立方程组?……5分整理，得??y2?1.?x??44?k24?k24?k2解得x??1或x?．所以x2?．……6分同理可得，x1?．………7分
4?k24?k24?k2·10·