所以x1?x2?1．……8分
证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），则kAP?y1y2，kAT?．4分 x1?1x2?1因为kAPy12y22y1y2?，即．……5分 ??kAT，所以22x1?1x2?1?x1?1??x2?1?21y12y222?1，x2??1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x?442222即y1?4x1?1，y2?41?x2．………6分
????所以
4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2，即
x1?11?x2．………7分所以x1?x2?1．………8分 ?x1?1x2?1y1(x?1)，………4分 x1?1证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y1?y??x?1?,?x1?1?4(x1?1)2?y12?x2?2y12x?y12?4(x1?1)2?0， 联立方程组?……5分整理，得???2?x2?y?1.??44(x1?1)2?y12解得x??1或x?．……6分 224(x1?1)?y1114(x1?1)2?y12将y?4x?4代入x?，得，即． x?x?2x1x14(x1?1)2?y122121所以x1?x2?1．……8分
????????（3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．
????????2因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x12?y12?16．………9分
y12?1，所以x12?4x12?4?16，即x12?4． 因为点P在双曲线上，则x?421因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．………10分
111|AB||y2|?|y2|，S2?|OB||y1|?|y1|， 222122222222所以S1?S2?y2?y1??4?4x2???x1?1??5?x1?4x2．………11分
4因为S1?·11·
由（2）知，x1?x2?1，即x2?4122．设t?x12，则1?t?4，S1?S2?5?t?．
tx1设f?t??5?t?44?2?t??2?t?，则f??t???1?2?，
ttt2当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0，
所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，
22所以当t?4，即x1?2时，S1?S222当t?2，即x1?2时，S1?S2??min?f?4??0．………12分
??max?f?2??1．………13分
所以S12?S22的取值范围为?0,1?．………14分
222222说明：由S1?S2?5?x1?4x2?5?4x1x2?1，得S1?S2????max?1，给1分．
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）
x（1）证明：设?1(x)?f(x)?g1(x)?ex?x?1，所以?1?(x)?e?1．………1分
当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0．
即函数?1(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增，在x?0处取得唯一极小值，………2分 因为?1(0)?0，所以对任意实数x均有 ?1(x)≥?1(0)?0．即f(x)?g1(x)≥0， 所以f(x)≥g1(x)．…………3分
（2）解：当x?0时，f(x)?gn(x)．………4分
用数学归纳法证明如下：①当n?1时，由（1）知f(x)?g1(x)．
*②假设当n?k（k?N）时，对任意x?0均有f(x)?gk(x)，…………5分
令?k(x)?f(x)?gk(x)，?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)，
??1?x??f(x)?gk(x)， 因为对任意的正实数x，?k?1?(x)?f??x??gk由归纳假设知，?k?1?(x)?f(x)?gk(x)?0．………6分
即?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)在(0,??)上为增函数，亦即?k?1(x)??k?1(0)， 因为?k?1(0)?0，所以?k?1(x)?0．从而对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)?0．
·12·
即对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)．这就是说，当n?k?1时，对任意x?0，也有f(x)?gk?1(x)． 由①、②知，当x?0时，都有f(x)?gn(x)．…………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn?1??e．
由（2）知，当x?0时，对任意正整数n，都有f(x)?gn(x)．令x?1，得gn?1??f?1?=e． 所以gn?1??e．…………9分
111?2??2??2??2??1?1?????再证对任意正整数n，1?????????????． ?g1??n?2!3!n!?2??3??4??n?1?123n1?2?要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式?成立． ???n?1?n!?n?1?即要证明对任意正整数n，不等式n!???（*）成立．………10分
?2?以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：
nn?1?1?①当n?1时，1!???成立，所以不等式（*）成立．
?2??k?1?*②假设当n?k（k?N）时，不等式（*）成立，即k!???．……11分
?2??k?1??k?1?则?k?1?!??k?1?k!??k?1???2????2??2?k?11kkk?1．
?k?2?k?1k?1k?1??1?12??k?2???01k?1?1?因为?????Ck?1????1???Ck?1?Ck?1??2，…12分 k?1k?1?k?1??k?1??k?1??k?1????2??k?1?所以?k?1?!?2???2?k?1?k?2?????2?k?1．…………13分
这说明当n?k?1时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．
?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．
234n?1????????……………………………………14分
方法2（基本不等式法）： 因为n?1?123nn?1，…………11分2?n?1??2?n?1n?1，……，1?n?， 22·13·
?n?1?将以上n个不等式相乘，得n!???．…………13分
?2?所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．
123nn?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．
?2??3??4??n?1?……14分
·14·