9-15 一均匀带电半圆环，半径为R，电量为+Q，求环心处的电势。
分析：微分取电荷元，运用点电荷电势公式及电势叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，根据点电荷电势公式表示电荷元的电势，再利用电势叠加原理求解。 解：把半圆环无穷分割，取线元dl，其带电量为dq?Qdl，则其在圆心O的电势为： πRdu?dqQdl ?4π?0R4π?0R?πR∴整个半圆环在环心O点处的电势为：
u??πR0QdlQ ?4π?0R?πR4π?0R
9-16 一面电荷密度为б的无限大均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，求带电平面周围的电势分布。
分析：利用无限大均匀带电平面的场强公式及电势与电场强度的积分关系求解。 解：无限大平面周围的场强分布为：
???E??i
2?0取该平面电势为零，则周围任一点P的电势为：
UP???x0???x dx??(?x)??2?02?02?09-17 如题图9-17所示，已知a=8310-2m，b=6310-2m, q1=3310-8C, q2=－3310-8C，D为
q1,q2连线中点，求：（1）D点和B点的场强和电势; (2) A点和C点的电势；（3）将电量为2310-9C的点电荷q0由A点移到C点，电场力所作的功；（4）将q0由B点移到D点，电场力所作的功。
题图9-17
题9-17解图
分析：由点电荷的场强、电势的公式及叠加原理求场强和电势。静电力是保守力，保守力做功等于从初位置到末位置势能增量的负值。 解：（1）建立如图题9-17解图所示坐标系：
?E1D?
?9?109?3?10?8?27?5i?i??10i(V/m) 2?224??0r(4?10)16q111
?E2D??9?109?3?10?8?27?5i?i??10i(V/m) 2?224??0r(4?10)16q2????5?E?E1D?E2D?3.38?10i(V/m)
9?109?3?10?8275E1B????10(V/m)，方向如图示。 ?22?22252??a??(4?10)?(6?10)24π?0????b?????2??q1E2B9?109?3?10?8275????10(V/m)，方向如图示。 ?22?22(4?10)?(6?10)52??a?2?4π?0????b2?????2??q2∴EB?41327??105?5.76?104(V/m)；方向平行于x轴. 1352q1q23?10?8?9?1093?10?8?9?109UD?????0 ?2?2aa4?104?10????4π?0??4π?0???2??2?同理，UB=0. （2）UA?q1q2 ?224π?0b4π?0b?a9?109?3?10?89?109?3?10?83???1.8?10(V)?2?22?226?10(6?10)?(8?10)UC?q14π?0q29?109?3?10?89?109?3?10?8?????1.8?103(V)?26?10b2?a24π?0b(6?10?2)2?(8?10?2)2（3）UAC?UA?UC?1.8?103?1.8?103(V)?3.6?103(V)
WAC?q0UAC?2?10?9?3.6?103?7.2?10?6(J)
（4）UBD?UB?UD?0
∴WBD?0
?9-18 设在均匀电场中，场强E与半径为R的半球面的轴相平行，试计算通过此半球面的
电场强度通量？
分析：如图所示，由高斯定理可知，穿过圆平面S1的电力线必通过半球面。
??2解：在圆平面S1上：???E?dS?－E?dS1?－E??R
s1 12
所以通过此半球面的电通量为：
?e?EπR2
题9-19解图 题9-18解图
9-19 两个带有等量异号电荷的无限大同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R2>R1）.单位长度上的电量为λ,求离轴线为r处的电场强度：(1) r?R1；(2) R1?r?R2；(3) r?R2 分析：由于场为柱对称的，做同轴圆柱面，运用高斯定理求解。
解：（1）在r?R1时，作如图所示同轴圆柱面为高斯面.由于场为柱对称的，所以通过侧面的电通量为2πrlE，通过上下底面的电通量为零.据高斯定理，因为此高斯面没有包围电荷，所以有：2πrlE?0,即E?0
（2）对R1?r?R2，类似（1）作高斯面，有：
2πrlE?l??0
故得：E?1?
2π?0r（3）对r?R2，作类似高斯面，有：
2πrlE?1?0(l??l?)?0
题9-20解图
故得：E=0。
9-20 静电场中a点的电势为300V，b点电势为-10V.如把5310-8C的电荷从b点移到a点,试求电场力作的功？
分析：电场力作功等于电势能增量的负值。 解：依题意可以有如图的示意图： 把正电荷由a点移到b点时电场力作功
Wab?qUab?q(Ua?Ub)?5?10??300－（－10）55?10(J)??1.?8?5
13
反之，当正电荷从b点移到a点时，电场力作功：
Wba??Wab??1.55?10?5(J)
负功表示当正电荷向低电势向高电势移动时，它要克服电场力作功，从而增加了它的电势能。 9-21 在半径为R1和R2的两个同心球面上分别均匀带电q1和q2,求在0?r?R1,
R1?r?R2,r?R2三个区域内的电势分布。
分析：由于场为球对称的，做同心球面，利用高斯定理求出场强。再利用电势与场强的积分关系U????r??E?dr求电势。注意：积分路径上的场强是分段函数。
解：利用高斯定理求出：
EI?0(r?R1)
?EII?q14??0r2?r0(R1?r?R2)
题9-21解图
?q?q?EIII?12r(r?R2) 204??0r电势的分布：
UIII????r???q?qq1?q2?12EIII?dr??dr?(r?R2)
r4??0r24??0rR2??????UII??EII?dr??EIII?drrR2??R2q14??0r2R1rdr?q1?q21?q2q1?????(R2?r?R2)4??0R24??0?R2r?UI??r??R2?????EI?dr??EII?dr??EIII?drR1R21?q2q1?????(r?R1)4??0?R2R1?
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