特殊平行四边形中的常见辅助线
一、连结法
1. (2014陕西,第9题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ） A． 4
B．
C．
D．5
2. （2015安徽, 第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A．2
B．
3
C．
5
D．
6
3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN； （2）求线段AP的长．
４.（2015山东德州,第20题8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式． 考点： 分析：
反比例函数综合题．.
（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四
边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可． 解答：
（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形， ∵四边形OABC是矩形，
∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2， ∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示： ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=， ∴点E坐标为：（，1），
．
设经过点E的反比例函数解析式为：y=， 把点E（，1）代入得：k=，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性
质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．
5.（2015江苏泰州，第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH． （1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由； （3）求四边形EFGH面积的最小值． 考点： 分析：
四边形综合题．
（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出
AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；
（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8﹣x）
2
=2（x﹣4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
解答：
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵AE=BF=CG=DH， ∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠BEF+∠BFE=90°， ∴∠BEF+∠AEH=90°， ∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下： 连接AC、EG，交点为O；如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，， ∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，即O为AC的中点， ∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8﹣x）2， ∴S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32， ∵2＞0， ∴S有最小值，
当x=4时，S的最小值=32，
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．
点评： 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的
判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果．
6.（12分）（2015内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？