考点： 分析：
几何变换综合题．
（1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明
△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值． 解答：
解：（1）DF=DE．理由如下：
如答图1，连接BD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB． 又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，
∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴DF=DE；
（2）DF=DE．理由如下：
如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB． 又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF与△BDE中，，
∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴DF=DE；
．即y=
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x． +×2×2sin60°=依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°
2
（x+1）
2
（x+1）+
+． ∵＞0，
．
∴该抛物线的开口方向向上，
∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=
点评： 本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形
的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键。
二、中心对称法（倍长法）
1.（2014山东临沂,第25题11分）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
考点： 四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质 专题： 综合题；探究型．
分析： （1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立． 解答： （1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠ENC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠ENC=∠MAE． ∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE（AAS）． ∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC =AD+MC．
（2）AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示． ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC． ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE． 在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）． ∴BF=DE，∠F=∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠FAB =∠FAM． ∴∠F=∠FAM． ∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立． 证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠EPC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠EPC=∠MAE． ∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
∴△ADE≌△PCE（AAS）． ∴AD=PC．