三、旋转法
1.（2014浙江绍兴,第23题6分）（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题．
分析： （1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△GAF，根据全等三角形的性质求出即可； （2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明
△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三
222222角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN=EC+NC即MN=BM+NC．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中， ∴∠ABE=∠ADG，AD=AB， 在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∴∠EAG=90°， 在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG
（2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°． 在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°． 于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°． 在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN=EN．
222在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN=EC+NC．
∴MN2=BM2+NC2． ∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32， ∴MN=
点评： 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用．
2.（2015湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3 考点： 分析：
A．2
，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
B．
3
C．
D．
全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，
CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF． 解答：
解：如图，延长FD到G，使DG=BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∴∠GCF=45°，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴GF=EF， ∵CE=3∴BE=∴AE=3，
=3，
，CB=6，
=
设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x， ∴EF=
=
，
∴（9﹣x）2=9+x2， ∴x=4，
即AF=4，
∴DF=2， =
=2
，
∴GF=5， ∴CF=故选A． 点评：
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思
想是解答此题的关键．
四、构造法
1.（2015甘肃庆阳，第25题，10分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．
（1）当AB=2时，求△GEC的面积； （2）求证：AE=EF． 考点： 分析：
全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=即可求得
S△GEC；
（2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF； 解答：
解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，
∴BE=EC=1， ∵AE⊥EF，
∴△ABE∽△ECG， ∴AB：EC=BE：GC， 即：2：1=1：GC， 解得：GC=，
∴S△GEC=ECCG=×1×=；
（2）证明：取AB的中点H，连接EH； ∵ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°， ∠2+∠AEB=90° ∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°， 且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE， ∴△AHE≌△ECF， ∴AE=EF；
点评： 此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的
中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF