所以原子外的电场为零。故原子内电位为
Ze1r23Zea1r(??) ?(r)??Ddr?(?)dr?23?4??r2r2r?0r4??0rrra0aa3.12 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为
r?a??(r)?0? ?a2r?a??(r)?A(r?)cos??r1rar （1）求圆柱内、外的电场强度；
（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由E????，可得到 r?a时， E?????0
?a2?a2r?a时， E??????er[A(r?)cos?]?e?[A(r?)cos?]?
?rrr??ra2a2?erA(1?2)cos??e?A(1?2)sin?
rr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为
???0nEr?a??0erEr?a??2?0Acos?
3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足?2??0 （1）sin(kx)sin(ly)e?hz 其中h2?k2?l2； （2）rn[cos(n?)?Asin(n?)] 圆柱坐标； （3）r?ncos(n?) 圆柱坐标； （4）rcos? 球坐标； （5）r?2cos? 球坐标。
?2??2??2?解 （1）在直角坐标系中 ???2?2?2
?x?y?z?2??2?hz2?hz 而 ?[sin(kx)sin(ly)e]??ksin(kx)sin(ly)e22?x?x?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]??lsin(kx)sin(ly)e22?y?y?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]?hsin(kx)sin(ly)e22?z?z故 ?2??(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0
21????2??2?(r)?22?2 （2）在圆柱坐标系中 ???r?r?rr???z2而
1???1??(r)?{rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] r?r?rr?r?r1?2?2n?2??nr[cos(n?)?Asin(n?)]} 22r???2??2?n?2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0
（3）
1???1??(r)?{r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2cos(n?) r?r?rr?r?r1?2?2?n?2??nrcos(n?) 22r???2??2?n?2[rcos(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0
（4）在球坐标系中
1?2??1???1?2? ???2(r)?2(sin?)?222r?r?rrsin?????rsin???1?2??1??2(r)?2[r2(rcos?)]?cos? 而 2r?r?rr?r?rr1???1??(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?22(?rsin?)??cos? 2rsin???r221??1??(rcos?)?0 222222rsin???rsin???故 ?2??0
1?2??1??2(r)?2[r2(r?2cos?)]?2cos? （5） 2r?r?rr?r?rr1???1???2(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?2?22(?rsin?)??cos? 24rsin???r221??1??2?(rcos?)?0 222222rsin???rsin???故 ?2??0
3.14 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?
2（1）e?ycoshx； （2）e?ycosx； （3）e?2ycosxsinx （4）sinxsinysinz。
?2?y?2?y?2?y解 （1）2(ecoshx)?2(ecoshx)?2(ecoshx)?2e?ycoshx?0
?x?y?z所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解；
?2?y?2?y?2?y(ecosx)?2(ecosx)?2(ecosx)??e?ycosx?e?ycosx?0 （2） 2?x?y?z所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解；
?2?2y?2?2y?2?2y(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)? （3） 2?x?y?z?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0
所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解；
?2?2?2 sinsin)(sinxsiynszi?n)2(xsinysinz?si2n)x(syin?z（4） 2?x?y?z?3sinxsinysinz?0
所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。
3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚0(exx?eyy?ezz)。
电荷为零。
解 （1）
?P???P??3P0
?P(x?)?nPL2L2x?L2?exPx?L2?LP0 2?LP0 x??L2x??L22LLLLL同理 ?P(y?)??P(y??)??P(z?)??P(z??)?P0
22222L32q??d???dS??3PL?6L?P0?0 （2） P?PP0?2?S?P(x??)?nP??exP3.16 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心
2?r?1?2()R0 点的电位为
2?r3?0解 由
?DdS?q，可得到
S4?r3r?R0时， 4?rD1??
3D1?r?rE??D? 即 1， 1?r?03?r?0334?R02r?R0时， 4?rD2??
33D1?R0?R03? ， E2? 即 D2?2?03?0r23r2故中心点的电位为
??R03?r?R02?R022?r?1?2 ?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr???()R03?r?03?0r26?r?03?02?r3?00R0R3.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为
00R0?R0一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。
解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p???P??在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?nPr?R1d2KK(r)?? r2drrr2K?erPr?R?
R（2）由于D??0E?P，所以 ?D??0?E??P?即 (1??0?D??P ??0)?D??P ?由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
???D?????0?P??????0?p??K2
(???)r0?KR14??RK2q??d??4?rdr? 总的自由电荷量 2?????r???000?（3）介质球内、外的电场强度分别为
PK?er (r?R) ???0(???0)rq?RKE2?er?e (r?R) r4??0r2?0(???0)r2E1?介质球内、外的电位分别为
?R??1??Edl??E1dr??E2dr?
K?RKdr?dr? 2??(???0)r?(???0)rrR0KR?Kln? (r?R)
(???0)r?0(???0)???RK?RK?2??E2dr??dr? (r?R) 2?(???)r?(???0)r00rr03.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度?P的表达式。
rRrR??P???P???D??0?E
在介质内没有自由电荷密度时，?D?0，则有 ?P??0?E 由于D??E，有 ?D??(?E)???E?E???0
E?? 所以 ?E???解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为
由此可见，当电介质不均匀时，?E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。
（2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0?E???0E?? ?3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的
E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)
那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和
D2？
解 设在介质2中
E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)
D2??0?r2E2?3?0E2
在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez(D1?D2)?0，可得
??ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?
2?5??3?E(x,y,0)?002z?于是得到 E2x(x,y,0?) 2yE2y(x,y,0)??3x
E2z(x,y,0)?103
故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)
不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。
3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为
?1??E0rcos???2?????03cos?aE02 r?a
??2?0r3?0Ercos? r?a
??2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解 在球表面上
?1(a,?)??E0acos?????03?0aE0cos???Eacos?
??2?0??2?003?0E0acos?
??2?02(???0)??13???Ecos??Ecos???E0cos? r?a00?r??2?0??2?03?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2??故有 ?1(a,?)??2(a,?)， ?0r?ar?a
?r?r?2(a,?)??可见?1和?2满足球表面上的边界条件。
球表面的束缚电荷密度为
3?0(???0)E0cos? r?ar?a??2?03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度d(0~)用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。
2(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；
?p?nP2?(???0)erE2??(???0)??2?r?(3) (3) 求电容器的电容量。
解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有