第四章习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
y?)?a(y,?) 0① ?(0,) 0 ② ?(x,0??(x,b)?U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
③
?(x,y)??Ansinh(y ?n?1n?yn?x)sin() aab U0 由条件③，有
U0??Ansinh(n?1?n?bn?x)sin() aao a 题4.1图
ax 两边同乘以sin(
n?x)，并从0到a对x积分，得到 aa2U0n?xAn?sin()dx?
asinh(n?ba)?a04U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba) ??0，n?2,4,6,?4U01n?yn?x?(x,y)?sinh()sin()故得到槽内的电位分布 ??n?1,3,5nn?(ba)aa,sinh4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
2U0(1?cosn?)?n?sinh(n?ba)解 应用叠加
y 原理，设板间的电位为
U0 boxy dxy oxy 4.2图 题 x
?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)
其中，?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，即
?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界
条件为：
①
②
?2(x,0)??2(x,b)?0
?2(x,y)?0(x?? )U0?U?y??0b③ ?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d?(0?y?d)
(d?y?b)?xn?y?nb )e根据条件①和②，可设?2(x,y)的通解为 ?2(x,y)??Ansin(bn?1U0?U?y(0?y?d)?n?y??0b)?? 由条件③有 ?Ansin(UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?b?dn?y)，并从0到b对y积分，得到 两边同乘以sin(bdb2U02U011yn?yn?yAn?(1?)sin()dy?(?)ysin()dy?2U0bsin(n?d) ??b0bbbddbb(n?)2db?xU02bU0?1n?dn?y?nb?(x,y)?y?故得到 ?sin(b)sin(b)e
bd?2n?1n24.3 求在上题的解中，除开U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按2WCf?2e定出边缘电容。
U0解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度
???2???02?y??y?0?x2?0U0?1n?d?nb??sin()e ??dn?1nb则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
?x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dsin()edx??2?2sin() q2???2dx?2??2dx??2??n?db?dn?1nb0n?1??0??2?2?0bU011n?dsin() 相应的电场储能为 We?q2U0???222?dn?1nb2We4?0b?1n?d其边缘电容为 Cf?2?2?2sin()
U0?dn?1nb4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U0，其余两面电位为零，求槽内的电位
的解。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
y?)?a(y,?) 0① ?(0,?(x,y)?0(y??) ② y ?(x,0?)U0 ③ 根据条件①和
②，电位?(x,y)的通解应取为
o 题4.4图 aU0
a x
?(x,y)??Ane?n?yasin(n?1?n?x) a由条件③，有 U0?两边同乘以sin(?Ansin(n?1?n?x) an?x)，并从0到a对x积分，得到 a?4U0a,n?1,3,5,2U0n?x2U0?An?sin()dx?(1?cosn?)? n??a?an?0??0，n?2,4,6,4U1?n?yan?x?0?esin( )故得到槽内的电位分布为 ?(x,y)?n?1,3,5na,4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
?x?z??y(y?b)sin()sin()
ac的电荷。求体积内的电位?。
解 在体积内，电位?满足泊松方程
?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() （1） 222?x?y?z?0ac长方体表面S上，电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为
?(x,y,z)?代入泊松方程（1），可得
???1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???m?xn?yp?z)sin()sin() abc???Amnp[(m?1n?1p?1m?2n?2p?)?()?()2]? abcm?xn?yp?z?x?zsin()sin()sin()?y(y?b)sin()sin()
abcac由此可得
Amnp?0 (m?1或p?1)
?2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()?y(y?b) （2） ?1n1abcbp?1?由式（2），可得
n??2n?y4bA1n1[()2?()2?()2]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?
abcb0bbn??8b2??3?(n?)?0?n?1,3,5,n?2,4,6,8b2??b
1?xn?y?zsin()sin()sin()?5故 1n1??0n?1,3,5nabc ,3[()2?()2?()]2abc4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql，其位置为(0,d)。求板间的电位函数。
?(x,y,z)??解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在
x?0的分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。
电位的边界
①
②
ql 条件为
y ?1(x,0)=?1(x,a)?0
?2(x,0)=?2(x,a)?0 ?1(x,y)?0(x??)
(x???) ?2(x,y)?0③
da ?1(0,y)??2(0,y)
(??2?x???1?x)q题x ?4.60o?图?l ??(y?dx) 0由条件①和②， 可设电位函数的通解为 ??)??Aasin(n?y1(x,yne?n?x) (x?0)
n?1a??,y)??Bxasin(n?y2(xnen?) (x?0)
n?1a由条件③，有
??Ansin(n?y?)?Bsin(n?y) n?1a?nn?1a ???An?n?y?n?n?ynsin()?n?1aa?Bn?ql?(y?d) n?1asin(a)
?0由式（1），可得
An?Bn 将式（2）两边同乘以sin(m?ya)，并从0到a对y积分，有 A2n?Bn?qlan???(y?d)sin(n?y)dy?2qlsin(n?d) 0?0an??0a由式（3）和（4）解得 Aql?dn?Bn?n??sin(n0a) 故
?q?ln?d?n?xan?1(x,y)?1???sin()esin(y) (x?0) 0n?1naa?)?q?l1n?dn?xa???sin(a)esin(n?y2(x,ya) (x?0) 0n?1n4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷
ql。求槽内的电位函数。
解 由于在(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?x0为界将场空间分割为0?x?x0和x0?x?a两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和
?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)，电位的边界条件为
① ?1(0y,=)，0?2(a,y)?0 （1） （2） （3）
（4） y b ql (x0,y0) o a x题4.7图
?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0
??2(x0,y )③ ?1(x0,y)②
(??2??1?)?x?x?x?x0??ql由条件①和②，可设电位函数的通解为
?0?(y?y0)
n?yn?x)sinh() (0?x?x0) bbn?1?n?yn?)sinh[(a?x)] (x0?x?a) ?2(x,y)??Bnsin(bbn?1?1(x,y)??Ansin(由条件③，有
?n?x0n?yn?yn?Asin()sinh()?Bsin()sinh[(a?x0)] （1） ??nnbbbbn?1n?1?n?x0n?n?yAsin()cosh()? ?nbbbn?1?qln?n?yn???(y?y0) （2） Bsin()cosh[(a?x)] ?n0?bbbn?10?由式（1），可得
n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0 （3） bbm?y)，并从0到b对y积分，有 将式（2）两边同乘以sin(b2qlbn?yn?x0n???(y?y)sin()dy? Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]0?0n??0bbb2qln?y0sin() （4） n??0bAnsinh(由式（3）和（4）解得 An?2qln?y01n?sinh[(a?x0)]sin()
sinh(n?ab)n??0bb2qln?x0n?y01Bn?sinh()sin()
sinh(n?ab)n??0bb故
?1(x,y)?2ql??0?nsinh(n?ab)sinh[bn?1?1n?(a?x0)]
n?y0n?xn?y)sinh()sin() (0?x?x0) bbb2ql?n?x01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?n?y?sin()sinh[(a?x)]sin() (x0?x?a)
bbb若以y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域，则可类似地得到
?sin(?1(x,y)?2ql??0?nsinh(n?ba)sinh[an?1?1n?(b?y0)]