z 又由于 Ed2 ?E??0E0
dd?E0??U0 22d2 ? 题 3.21图
U0
由以上两式解得 E??2?0U02?U0E?? ，0
(???0)d(???0)d故下极板的自由电荷面密度为
2?0?U0
(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为 上00(???0)d2?0(???0U)0P?(???)E??e 电介质中的极化强度 0z(???0)d2?0(???0U)0???eP? 故下表面上的束缚电荷面密度为p下z(???0)d2?0(???0)U0 上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ezP??(???0)d2?0?UQ? （2）由 ??ab(???0)dE0 (???0)dQU? 得到?1 2??ab0?2 (???0)QE ?? 故?p下?ab(???0)Q?0 ? E0
?p上??
?ab2?0?abQC?? 3 （）电容器的电容为题3.22图 U(???0)d
3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角?1，如题3.22图所示。求：（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密
?下??E??度。
tan?1?0? 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有
tan?2??1?1?0tan?2?tan?10?tan?1?14 由此得到 ?1?tan??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即
?0E0cos?1??En
?01E?Ecos??E0cos14 所以n01?4介质板左表面的束缚电荷面密度
?p??(???0)En???0E0cos1?4?340.?7E28 00介质板右表面的束缚电荷面密度 ?p?(???0)En?3?0E0cos1?440.?7E28 00 3.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0：
（1）平行于E的针形空腔；
（2）底面垂直于E的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。 解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中
E0?E，D0??0E0??0E
（2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中
D0?D??E，E0?D0?0??E ?03.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。
解 由题意可知，介质的介电常数为
???1?y(?2??)1d
设平行板电容器的极板上带电量分别为?q，由高斯定理可得
Dy???q SEy?dDy??q
[?1?y(?2??1)d]S所以，两极板的电位差 U?Eydy?0??2qqddy?ln ?[??y(???)d]SS(???)?1212110d故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)3.25 一体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。
解 在质子束内部，由高斯定理可得 2?rEr?1?02?r?
?r2.32?10?7r?3??1.31?104rVm (r?10 )故 Er?m?122?02?8.854?10在质子束外部，有 2?rEr?1?0?a2?
?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm (r?10 )故 Er?m?122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为??J?(??)。试问有没有束缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。
???解 ???D??(?E)??(J)?J?()??J
???对于恒定电流，有?J?0，故得到 ??J?(??) 介质中有束缚体电荷?P，且
?J?P???P???D??0?E??J?()??0?()???????0??J?()?J?(0)??J?()
???3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，
外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。
解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由JdS?I，可得电流密度
S?I
(a?r?c)
2?rJI (a?r?b) 介质中的电场 E1??er?12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0?E1dr?E2dr?ab??I2??1lnbIc?ln a2??2b于是得到 I?故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
2??1?2U0
?2ln(ba)??1ln(cb)J?er （2）由??nD可得，介质1内表面的电荷面密度为
?1?2U0 (a?r?c)
r[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b) E1?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]r?a?1??1erE1介质2外表面的电荷面密度为
??1?2U0
a[?2ln(ba)??1ln(cb)]???2???2erE2两种介质分界面上的电荷面密度为
r?c?2?1U0
c[?2ln(ba)??1ln(cb)]??(?1?2??2?1)U0
r?bb[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) （3）同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2
I2??1?22??1?2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)3.28 半径为R1和R2(R1?R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面
?12??(?1erE1??2erE2)接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。
解 设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以
4?rJI电场强度 E??er?4??0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2)
(R1?r?R2)
I?R(R?K)?I dr?ln?21?4??0(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?R2由两导体间的电压 U0?R1?Edr?R1?4??0KU0可得到 ?R2(R1?K)?
ln??R(R?K)?12??0KU0J?er所以 ?R(R?K)?
r2ln?21?R(R?K)?12?I????J?()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为
1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln???R1(R2?K)??K2U0??1?erJ?r?R1???2??erJ?r?R2（2）两理想导体球面间的电阻
1?R2(R1?K)?(R1?K)R1 ln??R(R?K)?12??KU01???R(R?K)?(R2?K)R2 ln?21?R(R?K)?12??KU0U0R(R?K)1 ?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，
R?两球之间的距离为d(d??R1,d??R2)，试求两小导体球面间的电阻。
解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，由于两球间的距离d??R1、d??R2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。
设两小球分别带电荷q和?q，由于d??R、d??R，可得到两小球表面的电位为
12q11(?) 4??R1d?R2q11?2??(?)
4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2?1?I4??? 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111故两个小导体球面间的电阻为 R??(???)
G4??R1R2d?R1d?R23.30 在一块厚度d的导电板上， 由两个半径为r和r的圆弧和夹角为?的两半径割
21G?出的一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电
阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。
解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有
1J E1?U1 dr2 ? ? r1 题3.30图
d 故得到沿厚度方向的电阻为 R1?d?U?I1?J1S1?1?(r22?r12)
d2J1??E1??U1
U12d ?22I1??(r2?r1)（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2，则
IIJ2?2?2S2?rd
E2?J2I?2 ???rdr2U2??E2dr?r1I2rln2 ??dr1故得到两圆弧面之间的电阻为 R2?U2r1?ln2 I2??dr1?（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3?E3rd?
?0由于E3与?无关，所以得到
E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr?dU3?dU3r2I3??J3e?dS??dr?ln
?r?r1Sr231U3? ?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。
故得到沿?方向的电阻为 R3?解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为