时间：45分钟 满分：100分
班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：由m⊥α，m∥n?n⊥α，又n∥β，则n平行于β内某一直线n′，此时n′∥m，于是α⊥β.
答案：D
2．(2014·石家庄诊断)教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( )
A．平行 C．异面
B．相交 D．垂直
解析：这支铅笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，则C排除；若与地面平行则B排除；若与地面相交，则A排除，选D.
答案：D
3．(教材改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC( )
A．是非等腰的直角三角形 B．是等腰的直角三角形 C．是等边三角形
D．不是A、B、C所述的三角形
解析：设O是点P在平面ABC内的射影，因为P到△ABC各顶点的距离相
等，所以O是三角形的外心，又P到△ABC各边的距离也相等，所以O是三角形的内心，故△ABC是等边三角形，选C.
答案：C
4．(2014·徐州模拟)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小是( )
A．相等 C．相等或互补
B．互补 D．无法确定
解析：如图一个二面角α－BC－δ与另一个二面角γ－BA－β的两个半平面分别垂直，即α⊥γ且δ⊥β，其中α⊥β，当δ面绕BC转动时，α－CB－δ的角度变化，∴这两个二面角的大小无法确定. 故选D.
答案：D
5．(2014·泉州二模)把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则BD与平面ABC所成角的正切值为( )
A.2 C．1
2
B.2 3D.3
解析：如图，在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.连接BE，因为二面角B－AD－C为直二面角，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.由以上可知，AC⊥平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所2
成角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝2，故选B.
答案：B
6．(理)(2014·山西大学附中)三棱锥P—ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝3a，则二面角A—PB—C的大小为( )
A．90° C．45°
B．30° D．60°
解析：取PB的中点M，连结AM、CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，所以∠AMC为二面角A—PB—C的平面角．易得AM＝CM＝3a，则△AMC为正△，所以∠AMC＝60°.
答案：D
9(文)(2013·山东)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为4，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
5πA.12 πC.4
πB.3 πD.6
解析：如图所示，由点P向面ABC作垂线，其垂足M为△ABC的中心，连3
接PA，AM，则∠PAM即为PA与面ABC所成的角．设棱柱的高为h，则V＝49
(3)2h＝4，故h＝3，∴PM＝3，又AM＝1，故在Rt△PMA中可知tan∠PAMπ
＝3，∴∠PAM＝3. 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)
7．(2014·泰州模拟)正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．
解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，
∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG， 故点P的轨迹是△EFG， 其周长为2＋6. 答案：2＋6
8．(2014·天门模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF， 只需CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. ACAF由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得AF＝AD，
11即
2ax
＝a， 3a－x
整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a. 答案：a或2a
9．(2014·卫辉月考)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α； ②若m∥α，α⊥β，则m⊥β； ③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α； ④ 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β. 则其中正确命题的序号为________．
解析：①③④正确．②中，可能有m∥β或m?β，故②不正确． 答案：①③④
10．(2014·豫北六校精英联考)a、b表示直线α、β、γ表示平面． ①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线； ⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述五个命题中，正确命题的序号是________．
解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；对④只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．
答案：②⑤
三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)
11．(2014·江西上饶中学二模)如图，在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝2，E、F分别为CD、AB中点，沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，点G为FB的中点．
(1)求证：AG⊥平面BCEF；