(2)求DG的长度．
解：(1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，则△AFB为等边三角形，又G为FB的中点，所以AG⊥FB.在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB中点，所以EF⊥AB，于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，所以AG⊥EF.又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.
(2)取EC的中点M，连结DM、GM、CG，易得平面ABF∥平面DCE，DM∥AG，因为AG⊥BCEF，则DM⊥BCEF，则DM⊥MG.
知EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF.
在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝2，则CG＝1， 53则在Rt△CGM中，GM＝GC＋CM＝2.又易知DM＝2.
22那么在Rt△DGM中，DG＝GM2＋DM2＝2.
12．(理)(2013·四川)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(Ⅰ)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．
解：(Ⅰ)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC
外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.
由已知，AB＝AC，D是BC的中点， 所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD. 因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.
又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交． 所以直线l⊥平面ADD1A1.
(Ⅱ)解法一：连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF.
由(Ⅰ)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN. 所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE. 所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.
故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．
设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
1
又P为AD的中点，所以M为AB中点，且AP＝2，AM＝1. 5
所以，在Rt△AA1P中，A1P＝2；在Rt△A1AM中，A1M＝2. AA1·AP1AA1·AM1
从而AE＝AP＝，AF＝AM＝，
1152AE2
所以sinθ＝AF＝.
5所以cosθ＝1－sinθ＝
222151－??＝5.
5
15
故二面角A－A1M－N的余弦值为5.
解法二：设A1A＝1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分→→→
别以A1E，A1D1，A1A的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)．
则A1(0,0,0)，A(0,0,1)，B(3，1,1)，C(－3，1,1)． 因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点， 3131
故M(2，2，1)，N(－2，2，1)．
→→→31
所以A1M＝(2，2，1)，A1A＝(0,0,1)，MN＝(－3，0,0)． 设平面AA1M的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则 →
??n1⊥A1M，?→??n1⊥A1A，
→
??n1·A1M＝0，即?→??n1·A1A＝0.
故有
31??x1，y1，z1?·?2，2，1?＝0，
?
??x1，y1，z1?·?0，0，1?＝0，
?23x1＋1y1＋z1＝0，
2从而??z1＝0.
取x1＝1，则y1＝－3，所以n1＝(1，－3，0)． 设平面A1MN的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， →
??n2⊥A1M，则?→??n2⊥MN，
→
??n2·A1M＝0，即?→??n2·NM＝0，
31
??x2，y2，z2?·?2，2，1?＝0，故有?
??x2，y2，z2?·?－3，0，0?＝0.
?23x2＋1y2＋z2＝0，
2从而?
?3x2＝0.
取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)． 设二面角A－A1M－N的平面角为θ，又θ为锐角， ?1，－3，0?·?0，2，－1?n1·n215
则cosθ＝||n|·|＝||＝
5. 1|n2|2·515
故二面角A－A1M－N的余弦值为5.
(文)(2013·四川)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
(Ⅰ)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积1
公式：V＝3Sh，其中S为底面面积，h为高)
解：(Ⅰ)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.
由已知，AB＝AC，D是BC的中点， 所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD. 因为AA1⊥平面ABC， 所以AA1⊥直线l.
又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (Ⅱ)过D作DE⊥AC于E.
因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.
又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C，
由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 33所以在△ACD中，DE＝2AD＝2. 1
又S△A1QC1＝2A1C1·AA1＝1.
1133所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝3DE·S△A1QC1＝3×2×1＝6. 3因此三棱锥A1－QC1D的体积是6.
13．(理)(2013·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(Ⅰ)求证：AA1⊥平面ABC；
(Ⅱ)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
BD
(Ⅲ)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.并求BC的值．
1
解：(Ⅰ)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC， 所以AA1⊥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AA1⊥AC，AA1⊥AB. 由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4， 所以AB⊥AC.