如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz， 则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 →??n·A1B＝0，?→??n·A1C1＝0.
?3y－4z＝0，
即? 4x＝0.?
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)． 同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)． n·m16
所以cos〈n，m〉＝|n||m|＝25. 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角， 16
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为25. →→
(Ⅲ)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BD＝λBC1. 所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)． 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ. →
所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． →→由AD·A1B＝0，即9－25λ＝0， 9解得λ＝25.
9
因为25∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B. BD9
此时，BC＝λ＝25. 1
(文)(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(Ⅰ)PA⊥底面ABCD； (Ⅱ)BE∥平面PAD； (Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.
证明：(Ⅰ)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
(Ⅱ)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED为平行四边形． 所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(Ⅲ)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(Ⅰ)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF. 所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.