1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK?p
③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：OF?OK?p。 2M2PC⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、
N准线是公切线。
KoF⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样
M1Q的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：
y2?2px，y2??2px，x2?2py，x2??2py。4抛物线y2?2px的图像和性质：
yM2?p?①焦点坐标是：?，0?，
?2?②准线方程是：x??Pp。 2KM1oFQx③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：PF?x0?p， 2pp?x2??x1?x2?p 222④焦点弦长公式：过焦点弦长PQ?x1?2y22⑤抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt,2pt)或P(x?,y?)其中y??2px?
2p5一般情况归纳： 方程 图象 k>0时开口向右 焦点 准线 定义特征 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 y=kx k<0时开口向左 22(k/4,0) x= ─k/4 k>0时开口向上 (0,k/4) k<0时开口向下 y= ─k/4 x=ky 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 抛物线的定义：
例1：点M与点F (－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方
分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．
2
答案：y=－16x 2
例2：斜率为1的直线l经过抛物线y=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、长．
程．
B的
分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．
2
解：如图8－3－1，y=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．
?y2?4x2由?消去y得x－6x+1=0． ?y?x?1设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6． 又A、B两点到准线的距离为A?，B?，则
AA??BB???x1?1???x2?1???x1?x2??2?6?2?8
点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
2
例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y=10x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；
2
(3) 已知抛物线方程为y=－mx(m>0)求它的焦点坐标和准线方程； (4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；
分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0)．特别
2是(3)题，要先化为标准形式：x??11y，则2p?．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．
mm答案：(1) F?，0?，x???5?2??511??222
y?．(2) x=12y (3) F?0，?，；(4) y=－x或x=－8y． ?24m4m??例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上
分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0）， ∵过点（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p·2 ∴p=
29或p= 34∴所求的抛物线方程为y2=－
4919x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－ 3238（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2） 当焦点为（4，0）时，
p=4， 2p=2， 2∴p=8，此时抛物线方程y2=16x； 焦点为（0，－2）时，
∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y ∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y， 对应的准线方程分别是x=－4，y=2 常用结论
① 过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2 ③ 设A， B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)
22
例5：过抛物线y=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p．
分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．
证：由OA⊥OB，得KOA?KOB22y1y2y12y2y12y2，x2?，所以：x1x2?，即????1，即y1y2=－x1x2，又x1?x1x22p2p4p22y12y22
． 而yy1y2??1y2≠0．所以y1y2=－4p． 4p2弦的问题
例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA?OB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
(2)直线AB经过一个定点 (3)作OM?AB于M，求点M的轨迹方程 解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, ∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA?OB, ∴x1x2+y1y2=0, 由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值) (2)直线AB的斜率k=
y2?y1y2?y12p=2=, 2x2?x1y2y1y1?y2?2p2py122p∴直线AB的方程为y─y1=(x─),
y1?y22p即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y=直线AB过定点C(2p,0)
2p(x─2p),
y1?y2(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=
2p(x─2p) (i),
y1?y2y2p·= ─1 (ii) xy1?y2又AB?OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x?0)
解法2: 由OM?AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=
x1?x2y?y2, y=1,
22又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N， 则|AF|=|AA/|=x1+
11,|BF|=|BB/|=x2+, 44111115∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)?(|AB|─)= 222224等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─) 141??y?k(x?)由?8(k2+2)x+k2=0 4得16k2x2─?y2?x??1?k2
依题意|AB|=1?k|x1─x2|=1?k×==3, 22k16k228(k2?2)51∴k=1/2, 此时x=(x1+x2)==
22?16k242
∴y= ±55222即M(,), N(,─) 42422例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线y?x2?2相交于B、C两点,点B、C在x轴上的射影分别为B1,C1, P是线段BC
上的点,且适合
BB1BP?,求?POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 PCCC1解析: 设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y)
?BB1yBP??1??, ?y0?PCCC1y2y1?y1?y2y22y1y2? y1y1?y21?y2?y?x2?2222由?得y?(k?4k)y?6k?0 ?y?k(x?2)2?6k212k?y0?2? ①
k?4kk?4又
y0?k代入①式得y0?4x0?4 ②
x0?2x0?2?x???x0?3x?2?3由?得? 代入②式得:12x?3y?4?0
y?3yy?0?y?0?3?由??0得k?4?26或k?4?26, 又由①式知y0关于k是减函数且y0?12
?12?46?y0?12?46,
4?4646?y?4?且y?4 33所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): 12x?3y?4?0
(4?4646?y?4?且y?4) 332例4 已知抛物线y?2px,(p?0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF?BF?8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程; ②求?ABS面积的最大值 解: ①设A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点 M(x0,y0)
由AF?BF?8得x1?x2?p?8,?x0?4?p 22?p?y1?2px122 又? 得y1?y2?2p(x1?x2),?y0?
2k??y2?2px2pppk所以 M(4?,) 依题意?k??1, ?p?4
p2k4??62抛物线方程为 y2?8x ②由M(2,y0)及kl?令y?0得xK?2?44, lAB:y?y0?(x?2)
y0y012y0 4 又由y2?8x和lAB:y?y0?42(x?2)得: y2?2y0y?2y0?16?0 y0?S?ABS?111222?KS?y2?y1?(4?y0)4y0?4(2y0?16) 224?S?ABS?14222(16?y0)(32?2y0)?264364()?6 839例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M
的坐标 解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=
x1?x2y?y2, y=1,
22又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N， 则|AF|=|AA/|=x1+
11,|BF|=|BB/|=x2+, 44111115∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)?(|AB|─)= 222224等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─) 141?y?k(x?)?由?8(k2+2)x+k2=0 4得16k2x2─?y2?x??1?k2
依题意|AB|=1?k|x1─x2|=1?k×==3, 22k16k228(k2?2)51∴k=1/2, 此时x=(x1+x2)==
22?16k242
∴y= ±
55222即M(,), N(,─) 42422