综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？
2解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程y?2px,y?k(x?p)联立，2解出
p(k2?1?1)2p(1?k2?1)p(k2?1?1)2p(1?k2?1)P(,),Q(,)
kk2k22k2直线OP的方程为y?2k(1?k2?1)(k2?1?1)2?2(1?k2?1)x,即y?x.
kp(1?k2?1)p令x??，得M点纵坐标yM??yQ得证．
2k由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．
思路二：利用命题“如果过抛物线y2?2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2??p2”来证．
设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3)，并从y2?2px及y?k(x?p)中消去x，得到ky2?2py?kp2?0，则有结论2?p2． y1y2??p，即y2?y12又直线OP的方程为y??py1py1． x， x??，得y3?22x1x12y因为P(x1,y1)在抛物线上，所以2x1?1．
ppy1pp2从而y3??(?py1)?2???y2．
2x1y1y1这一证法运算较小．
2yp思路三：直线MQ的方程为y?yo的充要条件是M(?,y0),Q(0,y0)．
22p将直线MO的方程y??2py2y0p和直线QF的方程y?202(x?)联立，它的解（x ,y）就是点P的坐标，消去yo的p2yo?p充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．
例2 已知过抛物线y?2px(p?0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．
分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB为三角形的底，只要确定高的最大值即可． 解：设AB所在的直线方程为y?x?2p． 2将其代入抛物线方程y2?2px，消去x得y2?2py?p2?0
?AB?2y1?y2?2?(y1?y2)2?4y1y2?4p
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值． 设直线l方程为y?x?b．代入抛物线方程得y2?2py?2pb?0 由??4p2?8pb?0,得b?∴△RAB的最大面积为
pp2，这时R(,p)．它到AB的距离为h?p 2221AB?h?2p2． 2例3 直线l1过点M(?1,0)，与抛物线y2?4x交于P1、P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k．
（1）将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k)； （2）求出f(k)的定义域及单调区间．
分析：l2过点P及F，利用两点的斜率公式，可将l2的斜率用k表示出来，从而写出f(k)，由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间．
解：（1）设l1的方程为：y?k(x?1)，将它代入方程y2?4x，得
k2x2?(2k2?4)x?k2?0
4?2k22?k2,x?设P 1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，则x1?x2?22kk2?k22?k222,)． 将x?代入y?k(x?1)得：y?，即P点坐标为(kk2k2k2k2k由y?4x，知焦点F(1,0)，∴直线l2的斜率k2? ?222?k1?k?1k2∴函数f(k)?1． 21?k224（2）∵l2与抛物线有两上交点，∴k?0且??(2k?4)?4k?0
解得?1?k?0或0?k?1
∴函数f?(k)的定义域为k?1?k?0或0?k?1 当k?(?1,0)时，f(k)为增函数．
例4 如图所示：直线l过抛物线y?2px的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．
分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．
2??证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．
2设C、D的坐标分别为(2pt12,2pt1)与(2pt2,2pt2)．则kCD?1 t1?t2∴l的方程为y??(t1?t2)?(x?∵直线l平分弦CD
p) 222∴CD的中点(p(t1?t2),p(t1?t2))在直线l上， 22即p(t1?t2)??(t1?t2)[p(t1?t2)?22由p(t1?t2)?0知t1?t2?p12]，化简得：p(t1?t2)(t12?t2?)?0 221?0得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线． 2证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线 ∵焦点F在直线l上，∴CF?DF
由抛物线定义，C(x1,y1),D(x2,y2)到抛物线的准线x??∵x1?x2,y1??y2，
∴CD的垂直平分线l：y?0与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．
例5 设过抛物线y2?2px(p?0)的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程． 分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点(x0,y0)；待求得x0、y0的关系后再用动点坐标(x，y)来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．
解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),
2y12?y2则：y?2px1,y?2px2，?x1x2? 24p2122p的距离相等． 2?OA?OB，?kOA?kOB??1即x1x2?y1y2?0
2y12y2??y1y2?0 4p2?y1y2?0，?y1y2??4p2 ①
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：y?y0??2x0(x?x0),显然x0?0 y0yy?(x?y0)222代入y?2px,化简整理得：x0y2?2py0y?2p(x0?y0)?0 ?x?0?x022?2p(x0?y0) ② ?x0?0，?y1y2?x022?2p(x0?y0)22由①、②得：?4p?，化简得x0?y0?2px0?0(x0?0)
x02用x、y分别表示x0、y0得：x2?y2?2px?0(x?0)
解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设A(2pt2,2pt)，则以OA为直径的圆方程为：
(x?pt2)2?(y?pt)2?p2(t4?t2)
x2?y2?2pt2?2pty?0 ①
设B(2pt1,2pt1)，OA⊥OB，则t1t??1?t1?? 在求以OB为直径的圆方程时以?代t1，可得
21t1tt2(x2?y2)?2px?2pty?0 ②
由①＋②得：(1?t2)(x2?y2?2px)?0
?x2?y2?2px?0(x?0)
例6如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N?l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，AM?7，AN?3，且BN?6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以l1为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标
系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以l2为准线的抛物线的一的两端点．
∴设曲线段
C
满足的抛物线方程为：
段，其中A、B分别为曲线段
y2?2px(p?0)(xA?x?xB,y?0),其中xA、xB为A、B的横坐标
令MN?p,则M(?pp,0),N(,0)，?AM?17,AN?3 22?(x???A∴由两点间的距离公式，得方程组：??(x?A???p?4?p?2解得?或?
x?1x?2?A?A∵△AMN为锐角三角形，∴
p2)?2pxA?172
p2)?2pxA?92p?xA，则p?4，xA?1 2又B在曲线段C上，?xB?BN?p?6?2?4 2则曲线段C的方程为y2?8x(1?x?4,y?0).
例7如图所示，设抛物线y2?2px(0?p?1)与圆(x?5)2?y2?9在x轴上方的交点为A、B，与圆(x?6)2?y2?27在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求PQ．（2）求△ABQ面积的最大值．
分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ．
解：（1）设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)
22??(x?5)?y?9由?2得：x2?2(5?p)x?16?0， ??y?2px?x1?xA?xB?5?P 22pyA?yBy1??(xA?xB)222p?xA?xB?2xAxB 22p?2(5?p)?82?9p?p222??(x?6)?y?272由?2得x?2(6?p)x?9?0， ??y?2px?x2?xC?xD?6?p 2y2?2pyC?yD?(xC?xD) 222同y1类似，y2?9p?p
则x1?x2?1,y1?y2?0，?PQ?1
（2）S?ABQ?S?APQ?S?BPQ?1PQ?yA?yB?22P2xA?xB