同样有
112?=(e为双曲线的离心率). mnep13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程. （1）证明：设M（y02,y0），直线ME的斜率为?k(k>0),则直线MF的斜率为-k， 直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).
2??y?y0?k(x?y0),由?得
2??y?x.ky2-y+y0(1-ky0)=0. 解得y0·yE=
y0(1?ky0),
k1?ky0(1?ky0)2∴yE=,∴xE=. 2kk1?ky0(1?ky0)2同理可得yF=,∴xF=.
kk2∴kEF=
yE?yF1??（定值）.
xE?xF2y0（2）解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y0）2,（1-y0)）F（（1+y0）2,-(1+y0)）.
设重心G（x,y），则有
2?xM?xE?xF2?3y0x??,??33 ??y?yM?yE?yF??y0.?33?消去参数y0,得y2=
12x? (x>0). 92714.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足OC=?tOM+(1-t)ON(t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点. （1）求证：OA⊥OB;
(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的
值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.
（1）证明：由OC=tOM+(1-t)ON(t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3=即y=x-4. 由?1?(?3)·(x-1),4?y?x?4,?y?4x,2?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0.
∴x1x2=16，x1+x2=12，
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16. ∴x1x2+y1y2=0.故OA⊥OB.
（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点. 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，
故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-16. kOA·kOB=
y1y2yy1616??12?22??=-1. x1x2y1y2?16y1y244∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y)， 则x=
11(x1+x2),y=(y1+y2). 22x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k）+8=4k2+8.
?x?2k2?4,∴弦AB的中点M的轨迹方程为：?消去k，得y2=2x-8.
?y?2k,