4、通过分析可知O→A→B→C→O的最短路径为如下图7所示：
图7
因为O→A→B→C→O的路线简化成由16个线圆结构组成的
G?H: l1?b1?r?2222c1?r?r?1
22 F→L：l2?C2?r?r L→B：l3? K→N：l4? M→Q：l5? Q→t：l6? S→V：l7??22
2b3?r?222222c3?r?r?3
c4?r?r?4 c5?r?r?5
b6?r?2222c6?r?r?6
22c7?r?r?7
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V→Y：l8? X→T：l9? T→q：l10?b8?r?222222c8?r?r?8
22c9?r?r?9 c10?r?r?10
为了简化模型，我们假设A、B、C点为切点。 因为O→A和O→C在前面已经计算了最短值 所以
minl?OA?l1?l2?l3?l4?l5?l6?l7?l8?l9?l10?OC
综上所述可得各个点的坐标： O→C的坐标为： 圆弧圆心
(230，60) (410，100) (500,200) (720,520) （720,600）
切点
（422，90） （428.7，94.5) (492，206） （727.6，514） （730,520）
（730,600） (727.8，606.3)
O→B的坐标为： 圆心
（60,300） (150,435) (220,470) （220,530） （150,600） 切点 （50.13，301.06） （51.7，305.5） （141.7，439.6） （230,530)
（150,444.03） （222.1，460.2） （140.7,596.3） （230,470）
(225.5，538.3) （144.5，591.6）
O→A的坐标为：
圆心 （80,210） 切点
（70.5，213） （76.6，219.4）
O?O的坐标 圆弧切点
（70.5,213.1） （76.6，219） （291.07,297.78）
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（297.25,309.08）
（229.25,532.9） （225.5,538.35） （144.5,591.64） （140.7,596.35）
（105.7,685.4） （115.6,699） （270.6,689.9） （272,689.8）
（366.7 ，670.3） (533.9 ，738.3) （699.4 ，642.3） （369.3 ，670）
（539.6 ，740） （429.3， 670） （539.5 ，740） （435.1 ，671.8）
（679.3 ，732.18） 圆心
（80， 210） （287.68 ，306.18） （220 ，530） （150,600）
（115.02，639） （270,680） （369.3 ，680） （429.3 ，680）
（539.5 ，730） （669.5 ，730） （709.2 ，644.5）
问题二：通过分析采用图9的路线可以得出O?A最短时间路径 如图所示：
图9
??OCBA是O到A的最短时间路径 其中C?x1,y1?点，B?x2,y2?点分别是直线与圆
弧的两个切点：CB长度是d。 d??y2?y1?2??x2?x1?2
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直线O1C的斜率为k1，直线O1B的斜率为k2。
所以直线O1C的方程：y?y1?k1?x?x1?·······························(1)
直线O1B的方程：y?y2?k2?x?x2?······························(2) 将式子(1)和式子(2)连理求解可以得到圆心坐标O1?x,y?。
??圆弧CB所对的圆心角为?
由到角公式可知：tan??k1?k2····································(3)
1?k1k2因为O1B?AB,O1C?OC,所以有两直线垂直那么其斜率相乘等于零。 因此：k2??300?x2··············································(4)
300?y2x1 ··················································(5) y1 k1???···································(6) ?d·2将式子(3)、(4)、(5)、(6)连理求解可以得到?和r
由于转弯的的半径还受到障碍物5和障碍物6的影响，所以切点的半径有限制范围，通过计算可限制切点的半径范围：
在?O1BC中显然有2r?sin0?x1?80
y1?2900?x2?290210?y2?290
又因为D点必须在两条切线的内侧，所以我们通过 OC的斜率大于OD;AB的斜率小于AD来限制。 即：
y1?kDAx1kBA?kDA kDA?0所以最短时间可以表示为：
minT?
r?1?e10?0.1e2??300?x2?2??300?y2?2?5第 14 页
x1?y122
以上式子用MATLAB求解得到最短时间为：95.4332秒
在上面的模型中是圆心固定算出半径是11.5，如果不固定圆心O1，那么圆心的范围就是一个以O点为圆心，1.5为半径的小圆内部的点。为了方便起见将圆心O1坐标的取值定在小圆的内切正方形里面。然后利用上面的模型加上（7）式的
约束条件可以在这个小正方形里面找到最优解。
d?a?ba?d?b?c··················································（7）
上面式子的程序再加上（7）这个约束条件用MATLAB求解得到最短时间为：94.3秒.两个切点坐标B(85.9,198.6) C(70.1,212.6)
七、模型评价
（一）优点：1.文章中的计算过程皆运用数学软件求解，且求解过程简洁，使得
出的数据更具有说服力；
2.本文通过对问题的充分分析，在合理的假设情况下，建立了具有科学性的方程模型；
3.运用本文模型求解相关问题时结果与实际情况基本相吻合；
（二）缺点：问题（一）中其他几问的算法基本上同O→A的算法一致，数据较大，在处理时存在一定的误差，但误差在允许的范围内，可以接受。
八、模型检验与推广
本文是利用传统方法——切线图法求解切线图法用障碍物的切线表示弧，此
时移动机器人必须接近障碍物，在有误差的时候可能与障碍物有接触，但解决了障碍物不能是圆形的问题。我们可以采用基于遗传算法与人工神经网络的智能避障算法。
九、参考文献
[1] http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/59fd857aa26925c52cc5bf4c.html，2012年
[2] 阳明盛，熊西文，林建华，MATLAB基础及数学软件，大连：大连理工大学出版社，2003年。
[3]《移动机器人避障方法综述》 作者 牢常健， 吴成东， 李斌
科学院沈阳动化研究所机器人学田家重点实验室；中嗣科学院研究生院；东
北大学信息科学与工程学院
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