第一部分：基础复习 二次函数 一、中考要求： 1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系． 3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验． 4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标． 5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测． 二、中考卷研究 (一)中考对知识点的考查： 2009、2010年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号 1 2 3 4 所考知识点 二次函数的图象和性质 二次函数的图象与系数的关系 二次函数解析式的求法 二次函数解决实际问题 比率 2.5~3% 6% 2.5~10.5% 8~10% 查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。
针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.
★★★(I)考点突破★★★ 考点1：二次函数的图象和性质
一、考点讲解：
21．二次函数的定义：形如y?ax?bx?c（a≠0，
a，b，c为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：
⑴ 二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
2⑵ 二次函数y?ax?bx?c的图象是一条抛物
线．顶点为（－
b2a，4ac?b4a2），对称轴x=－
b2a；
当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－
b2a，y随x的增大而增大，x＜－2a，
b2aby随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口
向下，图象有最高点，且x＞－
b2a，y随x的
增大而减小，x＜－
，y随x的增大而增大．
(二)中考热点： 二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题． 三、中考命题趋势及复习对策 二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考 注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。
解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（x1,y），（x2,y），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线x?x1?x2。
2⑶ 当a＞0时，当x=－2a时，函数有最小值
4ac?b4a2b；当a＜0时，当 x=－2a时，函数有
b2最大值
4ac?b。
4a
3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．
⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．
⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2
的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．
⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．
注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。
一、经典考题剖析：
【考题１】（2009、贵阳）.抛物线y=?4(x+2)2+5的对称轴是______
【考题2】（2009、宁安）函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ）
A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4） D.（0，－4）
【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线
y?2x2向右平移2个单位，向下平移3个单
位，平移后二次函数的关系式是（） Ａ．y?2(x?2)2?3 Ｂ．y?2(x?2)2?3 Ｃ．y?2(x?2)2?3 Ｄ．y?2(x?2)2?3
【考题４】（2009、贵阳）已知抛物线y?13(x?4)2?3的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x轴相交时的坐标是（ ）
A．（5，0） B.（6，0） C．（7，0） D.（8，0）
【考题５】（深圳）二次函数y?ax2?bx?c
图像如图所示，若点Ａ（１，y1），Ｂ（２，y2）是它的图像上两点，则y1与y2的大小关系是（） y ｘ＝－３
O Ａ．y1＜y2 Ｂ．y1＝y2 Ｃ．y1＞y2 Ｄ．不能确定 三、针对性训练：( 分钟) (答案： )
1．已知直线y=x与二次函数y=ax2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为（ ） A、2 B、1 C、3
D、 4
2．已知反比例函数y= k
x 的图象在每个象限内y
随x的增大而增大，则二次函数y=2kx2 －x+k2的图象大致为图1－2－3中的（ ）
4．抛物线y=x2－４x＋5的顶点坐标是（ ） A．（－2，1） B．（－2，－1） C．（2，l） D．（2，－1） ５．二次函数 y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5）
C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D．开口向上，对称轴x=－3，顶点(－3,－5） ６．二次函数y?x2?bx?c的图象上有两点
(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）
A． x?4 B. x?3 C. x??5 D. x??1
7．在平面直角坐标系内，如果将抛物线y?3x2 向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移后二次函数的关系式是（ ） Ａ．y?3(x?3)2?4 Ｂ．y?3(x?3)2?4 Ｃ．y?3(x?3)2?4
Ｄ．y?3(x?3)2?4
8..已知，点A（－1，y1），B（?2，y2），C
（－5，y23）在函数y??x的图像上，则y1，
y2，y3的大小关系是（）
A . y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y2＞y1＞y3
9．已知二次函数y?ax21?bx?c(a≠0）与一次函
数y2=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是_______
yx=1 Ox3 10.（襄樊）抛物线y??x2?bx?c的图像如图
所示，则抛物线的解析式为_______。
11.若二次函数y??x2?bx?c的顶点坐标是
（2，－1），则b=_______，c=_______。 12直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为
____．
13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线y?x2?2mx?m2?2m?1①，有
y=(x?m)2?2m?1②，所以抛物线的顶点坐
标为（m，2m－1），即x?m,??
?y?2m?1③④。 当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1l⑤．可见，不论m取任何实数，抛物线顶
点的纵坐标y和横坐标x都满足y=2x－1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；
（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线
y?x2?2mx?2m2?3m?1顶点的纵坐标与
横坐标x之间的关系式_________.
14抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15 已知M、N两点关于 y轴对称，且点 M在双曲线 y=
1
2x
上，点 N在直线上，设点M的坐标为(a，b)，则抛物线y=－abx2+(a＋b）x的顶点坐标为___.
16当b＜0时，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ）
考点2：二次函数的图象与系数的关系
一、考点讲解：
1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛
物线开口向上，则a＞0；抛物线开口向下，则a＜0．
2、b的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－
b2a＜0，即b2a＞0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－b2a＞
0，即
b2a＜0．则a、b异号．间“左同右异”．
3．c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0．
4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ． 5、a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线
y?ax2?bx?c(a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵
坐标，a－b+c是抛物线y?ax2?bx?c(a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 二、经典考题剖析：
【考题1】（2009、潍坊）已知二次函数
y?ax2?bx?c的图象如图 l－2－2所示，则
a、b、c满足（ ） A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
【考题2】（2009、天津）已知二次函数
y?ax2?bx?c (a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则
一定有（ ）
A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac＝0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≤0 【考题３】（2009、重庆）二次函数y?ax2?bx?c的图象如图1－2－10，则 点（b，c
a
）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、针对性训练：( 60分钟)
1．已知函数y?ax2?bx?c的图象如图1－2－11
所示，给出下列关于系数a、b、c的不等式：①a
＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b ＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________-
2．已知抛物线y?ax2?bx?c与x轴交点的横坐
标为－1，则a＋c=_________.
2?bx?c
3．抛物线y?ax中，已知a：b：c=l：2：
3，最小值为6，则此抛物线的解析式为____________
4．已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _______________.
5．抛物线y?ax2?bx?c如图1－2－12 所示，
则它关于y轴对称的抛物线的解析式是___________.
6．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个）
7．已知二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交
于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c< 0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．
8．若二次函数y?ax2?bx?c的图象如图，则
ac_____0（“＜”“＞”或“=”）
第8题图
9．二次函数y?ax2?bx?c的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（）
A．ab＜0 B、bc＜0
C．a+b＋c＞0 D．a－b十c＜0
10．抛物线y?ax2?bx?c（a＞0）的顶点在x轴上方的条件是（ ）
A．b2－4ac＜0 B．b2－4ac＞ 0 C．b2－4ac≥0 D． c ＜0 11 二次函数⑴y=3x2；⑵y= 2 x2；⑶y= 4
x233
的图
象的开口大小顺序应为（ ）
A．（1）＞（2）＞（3）B．（1）＞（3）＞（2） C．（2）＞（3）＞（1）D．（2）＞（1）＞（3）
考点3：二次函数解析式求法
一、考点讲解：
1．二次函数的三种表示方法：
⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；
⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；
⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法：
⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利
用待定系数法求得y?ax2?bx?c；将已知的
三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。
⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称
轴方程，则可采用顶点式：y?a(x?h)2?k其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h； ⑶交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：
y?a(x?x1)(x?x2),其中与x轴的交点坐标
为（x1，0），（x2，0）。
解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设y?ax2；已
知顶点（0，c），即在y轴上时可设
y?ax2?c；已知顶点（h，0）即顶点在x
轴上可设y?a(x?h)2.
注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。 二、经典考题剖析：
【考题1】（2009、长沙）如图1－2－16所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此时
AMAD=HG
BC
。 (1)设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y
与x的函数关系式；
(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？ (3)以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。
【考题2】在直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕O点按逆时针方向旋转900到△COD。 （1）求C，D两点的坐标；
（2）求经过C，D，B三点的抛物线解析式。